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1、第 1 页【导数及其应用导数及其应用】单元总结单元总结一、导数的概念：一、导数的概念：1、平均变化率：、平均变化率：设函数，当自变量 x 由 x1变到 x2时，变量 y 相应)x( fy 由 y1变到 y2，则，称为函数从 x1xy xxyyk 1212 )x( fy 到 x2的平均变化率（其中记，）12xxx12yyy2、导数的概念：、导数的概念：当自变量 x 由 x0变到 x0+x 时，函数的平均变化)x( fy 率为，当x0 时表示函数x)x( f)xx( f xyk00 在 x=x0处的瞬时变化率，称为函数在 x=x0处)x( fy )x( fy 的导数。记作：或。叫做函数)(0xf0
2、xxy)(xfy 的导函数。)x( fy 3、导数的几何意义和物理意义：、导数的几何意义和物理意义：（1）物理意义：对于质点运动方程在 t=t0处的导数就是质点在时间为 t0时的瞬时速度 ) t ( fs ；（2）几何意义：对于函数在 x=x0处的导数就是曲线在 x0处的切线的斜率 k .)x( fy )x( fy 二、导数的计算：二、导数的计算：1、基本初等函数的求导公式：、基本初等函数的求导公式： 基本函数导数基本函数导数c)x( f.)(xf) 1a,0a (xlog)x( fa .)(xf x)x( fxln)x( fox1x2xy y2y1y=f(x)xyox0x0+xxy f(x0
3、+x)f(x0)y=f(x)xy第 2 页) 1a,0a (a)x( fxxsin)x( fxe)x( fxcos)x( f2、导数的四则运算法则：、导数的四则运算法则：（1）两个函数的和（或差）的导数： .)()(xgxf（2）两个函数的积的导数： , .)()(xgxf)(xgc（3）两个函数的商的导数： （g(x)0）. )()( xgxf3、复合函数的导数：、复合函数的导数：设，则复合函数的导数为： .)x(gu,)u( fy)x(g fy y练习题：练习题：1、求下列函数的导数：（1）（2）（3）2)x( f2x)x( f1x3x2)x( f2（4）（5）（6）x3)x( fxe2)
4、x( fxlogx)x( f23（7）（8）（9）xcos4xsin3)x( fx2ex)x( f2x3x2x)x( f23（10）（11）（12）3xsin)x( f) 1x2ln()x( f4x3)x( f2、若，则 .) 3x2ln()x( f)(2f3、已知，则 .x1f 2xxf2)()()(0f4、设函数，若=4，则 a= .) 3x)(1x2ax()x( f2)(1f 5、若质点的运动方程为，则质点在 t=1 时的瞬时速度为 .10t 5t 2s26、子弹在枪管中的运动可看作匀加速直线运动，若 a=5105 m/s2，子弹从枪口射出2at21) t ( s时所用时间为 1.610
5、 -3 s，则子弹射出枪口时的速度为 .7、函数的图象在点处的xsin4y21,6切线的斜率为 .8、函数的图象在点 x=1 处的切线xlnxy 方程为 .第 3 页9、过点 P(-1,2)且与曲线 y=x2在点 M(1,1) 处的切线垂直的直线方程是 .10、过点 P(3,5)且与曲线 y=x2相切的直线方程是 .11、已知曲线的一条切线平行于直线 y=3x-5，则切点坐标为 .x1x2y12、已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3)，则 b 的值为 .13、若曲线 y=x3-2x+m 与直线 y=x+1 相切，则常数 m 等于 .14、已知直线和均与曲线
6、y=x2-x 相切，且，的切点为 A(1,0)，求直线的方程.1l2l1l2l1l2l三、导数在研究函数的应用三、导数在研究函数的应用（一）函数的单调性与导数：（一）函数的单调性与导数：1、在区间 (a,b) 内，若，则 f(x)在 (a,b) 上是增函数；0xf)(若，则 f(x)在 (a,b) 上是减函数；0xf)(2、越大，曲线越“陡峭” ， 越小，曲线越“平缓”.)(xf)(xf练习题：练习题：1、求下列函数的单调区间，并描出函数的大致图象：（1）（2）3x2)x( f4x2x)x( f2（3）（4）x3x)x( f32, 0x,xcos2x)x( f2、函数的递增区间是 ；函数的递减
7、区间是 .)xx4lg()x( f2xln2x)x( f23、设是函数的导函数，的图象如左图所示，则的图象可能是( )(xf)x( f)(xfy )x( fy 4、下列函数中，在(0,+)内是增函数的是( )A.B.C.D.xsiny2xexyxxy3) 1xln(xy5、函数 y=xlnx 在区间(0,1)上( )oxy y=f(x)oxy1 2oxy1 2Aoxy1 2Boxy2Coxy2D第 4 页A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增6、对于 R 上可导函数 f(x)，若满足 ，则 ； ； 0xf1x)()() 1 ( f) 0( f) 2( f) 0( f； 中一定成立的是
8、 .) 3 ( f) 2( f) 1 ( f 2) 2( f) 0( f7、若函数在（-,+）内是增函数，则实数 a 的取值范围是 .axx)x( f38、已知函数在区间2,+)上是增函数，则实数 a 的取值范围是 .)Ra (xax)x( f29、如图，水以恒速注入下面四种底面积相同的容器中，则与各容器对应的水的高度 h 与时间 t的函数关系的图象分别是 .（二）函数的极值与导数：（二）函数的极值与导数：1、对于函数，若且)x( fy 0xf0)( 在 x0附近左增（）右减（） ，则是极大值，此时 x0叫极大值点；0xf0)(0xf0)()x( f0 在 x0附近左减（）右增（） ，则是极小
9、值，此时 x0叫极小值点；0xf0)(0xf0)()x( f02、注： 函数的极值是刻画函数的局部性质，一个函数可能有多个极值，且极大值不一定大于极小值； 若，x0不一定是函数的极值点，如，0xf0)(3x)x( f，是单调增函数，虽有，但 x=0 不是函数0x3xf2)()x( f00f)(的极值点。3x)x( foxyAoxyBoxyCoxyDoxyx1x2x3x4x5y=f(x)oxyy=x3第 5 页练习题：练习题：1、求下列函数的极值：（1）（2）（3）（4）4x12x)x( f3x4x)x( fx2ex)x( f21xx2xf2)(2、已知函数在 x= -2 和 x=1 处取得极值
10、，则的解析式为 .x2bxaxxf23)()x( f3、函数在 x=1 时有极值 2，则 a= ，b= .a2bxaxxxf23)(4、已知既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是 .1x2a3ax3xxf23)()(5、已知函数axxxxf23)(（1）求的极值；)x( f（2）若曲线与 x 轴仅有一个交点，求实数 a 的取值范围.)(xfy （三）函数的最值与生活中的优化问题：（三）函数的最值与生活中的优化问题：1、若函数在闭区间a,b上连续可导，则函数)(xfy 在区间a,b内必有最大值和最小值。在各极值和区)(xfy 间端点函数值 f(a)和 f(b)中，最大者为最大值，最小者为
11、最小值。2、生活中常见的优化问题： 利润最大问题； 费用（材料）最省问题； 面积、体积最大问题.解决生活中优化问题的方法是：建立数学（函数）模型，利用函数的最大（小）值求解，要注意实际问题的意义（函数的定义域等） 。练习题：练习题：1、求下列函数在给定区间上的最大（小）值：（1）（2） 2,0x,1x6x3)x( f2 3,1x,6x12x)x( f3（3）（4）1,1x,xx27)x( f3 4,4x,5x9x3x)x( f23xyb x1ax2x3 x4y=f(x)第 6 页2、函数的值域是 .) 2xln(x)x( f3、已知 y=2x+7，则 3x2+y2的最小值为 .4、函数 f(x
12、) = x2e-2x 在0,2上的最大值为 .5、设函数，若对任意 x-,2都有 f(x) m 成立，则实数 m 的取值范3x2x21x)x( f23围是 .6、将 8 分为两个数之和，使其立方之和最小，则分成的两个数分别为 .7、把长为 60m 的铁丝围成矩形，当长为 m，宽为 m 时，矩形的面积最大.8、做一个容积为 256cm3的方底无盖水箱，它的高为 cm 时，使材料最省.9、一张 1.4m 高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼 1.8m，则观察者应站在距离墙 m 处看图片才能最清晰（即视角最大）.10、某公司生产某种产品，固定成本为 20000 元，每生产一件产品的成本为 100
13、 元，已知总收益 R 与年产量 x 的关系是，则总利润最大时，每年生产的 )400x(80000)400x0(x21x400R2产品件数为 .11、用长为 45cm，宽为 24cm 的长方形铁皮做一个无盖容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折 90 角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？12、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y（升）关于行驶速度 x（千米/时）的函数解析式可以表示为。已知甲、乙两地相距 100)120x0(8x501x1280001y3千米.（1）当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最小？最小为多少？13、要建造一个容积为定值的圆柱形水池.（1）问水池底面半径和高的尺寸如何选取，才能使所用材料最省？第 7 页（2）若水池底材料成本为 30 元/米2 ，池壁材料成本为 20 元/米2 ，问如何选取池底半径和高的尺寸，才能使水池造价最低？14、已知某工厂生产 x 件产品的成本（元）.2x41x202500C（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件 120 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
