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1、 三角函数同步三角函数同步练习练习例 1、计算下列各式的值:1、;2、;3、。解:1、原式。2、原式。3、原式。例 2、比较下列各式的大小。(1)sin10和 cos10 (2)tan49和 cot42(3)tan46和 sin46 (4)sin27和 cot27解:(1)cos10cos(9080)sin 80,而 sin80sinl0, sin10cos10。(2)ctg42ctg(9048)tg48,而 tg49tg48,tg49 ctg42。(3)tg46tg451,而 sin461,tg46sin46。(4)sin27sin30,ctg27ctg30,而,sin27ctg27。例 3
2、、已知:如图所示,ADBC,B90,AD4,ABBC28,tanC。求:梯形 ABCD 的面积。分析:此题欲求梯形面积,不难发现只需求出 AB,BC 的长。由条件 tgC,想到按处理方法把它转换成线段比,但C 未在直角三角形中,故须作垂直线, 怎么做呢?由 ADBC,B90,想到梯形中常用辅助线:作 DEBC 于 E,则 DEAB,ADBE,设 ABDEx,EC3x,由ABBC28,AD4,不难求出 x 的值,进而求出 AB 和 BC。解:作 DEBC 于 E,B90, ABDE,ADBC,ABDE,BEAD4。,设 DEx,则ABx,EC,ABBC28,ABBEEC28, x43x28,x6
3、。ABx6,BCBE3x41822,梯形 ABCD 面积(ADBC)AB(422)678。说明:通过此题解法,读者可从中体会:题目条件中有三角函数值时常用处理 方法在解题中加以具体应用。例 4、已知:如图所示,ABC 中,C90,E 是 AC 上一点,EDAB 于 D,若 cotBED,cosA,CE。求:DE 的长。分析:此题条件中有两个三角函数值条件,按解题思路想到将它们转化为线段 比,注意二个三角函数所对应的相应线段比有公共线段,这样我们看到可以在 一个直角三角形内用三角函数值表示线段比,然后设未知数,这时就可以将另 外直角三角形的边长用这个未知数表示出,再利用另一个三角函数值所对应的
4、线段比便可得到含未知数的方程,进而求出未知数的值,从而求出题目所要求 的线段的长。解法一:EDAB ,ctgBED,设 DE3x,则BD4x。C90,cosA,设 AD12y,AE13y,则DE5y。DE3x5y,yx,AD12yx,AE13yx,CE,ACAECEx,ABADBDx4xx。,整理,得 165x165,x1,DE3x3。解法二:如图所示,EDAB,cosA,设 AD12x,AE13x,则DE5x,ctgBED,BDDEx,CE,ACAECE13x,ABADBD12xxx,C90,cosA,整理得,55x33,x,DE5x3。解法三:如图所示,C90,cosA,设AC12x,AB
5、13x,则BC5x,CE,AE12x。EDAB,EDA90C,A 公用,ADEACB,DE,AD,BDABAD,ctgBED,整理得,65x56,x,DE3。例 5、已知:如图所示,ABC 中,三边长为 a、b、c,E 是 AB 上一点,EDAC,且 BEED,a、b 是关于 x 的方程的两个根,tanA。求:AD 的值。分析:此题容易想到tgA,设 DE3x,AD4x,则AE5x,AB8x,但苦于找不到另一个含 x 的等式,怎么办?注意条件:a、b 是方程的两根,想到 ab4c,ab4c8,从中想到若能将 a、b、c 都用 x 表示出,问题便迎刃而解,从表面上看仍看不出 a、b、c 之间有何
6、联系,但 题目实在又没有其他条件可用,只有从 ab4c 与 ab4c8 中进一步挖掘 性质,将 ab4c 两边平方:a2b22abc28c16,注意 2ab8c16,从中得到 a2b2c2,故C90,进而发现了 a、b、c 之间 的另外一关系式。解法一:a、b 是方程的两个根,,得 a2b2c2,故C90,EDAC,设DE3x,AD4x,则BEDE3x,AE5x,cABAEBE8x,设a3y,b4y,则,5y8x,a3y,b4y,代入有:48x,解得:x,AD4x45。解法二:如图所示,由解法一知:C90,ab4c,设 a3x,b4x,则 cAB5x,代入式,得:3x4x45x,x2,AB5x
7、10。DEAC,设DE3y,AD4y,则BEDE3y,AE5y,ABAEBE8y,8y10,y,AD4y45。例 6、已知:如图所示,在ABC 中,ACB90,CDAB 于 D,CD1,若 AD、BD 的长是关于 x 的方程 x2pxq0 的两根,且 tgAtgB2。求:此二 次方程。分析一:此题由条件 tgAtgB2,想到将其转换成线段比,从中观察其意义,不难得到,注意 CD1,CD2ADBD,则有 BDAD2,ADBD1,因 AD,BD 是方程的根,则必有 ADBDp,ADBDq1,从中发现只需求 ADBD 的值。这由 BDAD2,ADBD1 不难求得。解法一:ACB90,CDAB,ACD
8、 CBD,CDADBDCD,CD1,ADBDCD21,BDAD2,BD2AD22ADBD4,ADBD1,BD2AD22ADBD448,(AD十 BD)28,ADBD2,pADBD2,qADBD1,所求二次方程是 x22x10。分析二:此题关键是处理条件:tgAtgB2,充分注意条件ACB90,则 AB90,故有 tgBctgA,故有 tgAtgBtgActgA1,从中可解得:tgA1,tg B1,即1,1,注意CD1,从中可求出 AD 和 BD 的值,进而求出二次方程。解法二:ACB90,AB90,tgBtg(90A) ctgA,tgActgA1,tgAtgB1,tgAtgB2,解,得 tgA
9、1,tgB1,CDAB 于D,CD1,tgA1,AD1,tgB1,BD1。AD、BD 是方程 x2pxq0 的两个根,pADBD112,qADBD(1)(1)211,所求二次方程是 x22x10。例 12、已知:如图所示,ABC 中,ACB90,CDAB 于 D,DEAC 于 E。 求证:sin2AcosA。分析:此题由结论中有三角函数,故想到应将它们转化为线段之比,由于图中 有许多三角形,A 分别在 RtADE,RtADC,RtACB 中,又易证 12A,可见在图中任何一个直角三角形中,都可以将 sinA 和 cosA 转 化为线段比,问题是选哪些才能证出本题结论,由于结论另一边与 CE、A
10、B 有关, 因此应选能涉及 CE 与 AB 的直角三角形,从图中看有ACB 和DCE,这样有sinA,因此 sin2A,再和结论比较发现只需证 cosA,而 CD、BC 在 RtBCD 中,cos2cosA。证明一:ACB90,AB90,CDAB,2B90,A2,同理1A2。在 RtABC 中,sinA,在 RtDEC 中,sin1,在 RtADE 中,cos2,由,有 sinAsin1cos2,sin2AcosA。分析二:由于 sin2Acos2A1,故 sin2A1cos2A,故只需证cosA(1cos2A ),如证明一,我们选取与 AB, E 有关的直角三角形,将 cosA 分别用边比表示出来,也可证出此题。证明二:如图可知,sin2Acos2A1,sin2A1cos2A,在 RtABC 中,cosA,在 RtADC 中,cosA,在 RtADE 中 cosA,得:cos2A,1cos2A1,得:cosA(1cos2A ),sin2AcosA。