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1、 三角函数同步三角函数同步练习练习例 1、计算下列各式的值：1、；2、；3、。解：1、原式。2、原式。3、原式。例 2、比较下列各式的大小。（1）sin10和 cos10 （2）tan49和 cot42（3）tan46和 sin46 （4）sin27和 cot27解：（1）cos10cos（9080）sin 80，而 sin80sinl0， sin10cos10。（2）ctg42ctg（9048）tg48，而 tg49tg48，tg49 ctg42。（3）tg46tg451，而 sin461，tg46sin46。（4）sin27sin30，ctg27ctg30，而，sin27ctg27。例 3
2、、已知：如图所示，ADBC，B90，AD4，ABBC28，tanC。求：梯形 ABCD 的面积。分析：此题欲求梯形面积，不难发现只需求出 AB，BC 的长。由条件 tgC，想到按处理方法把它转换成线段比，但C 未在直角三角形中，故须作垂直线， 怎么做呢？由 ADBC，B90，想到梯形中常用辅助线：作 DEBC 于 E，则 DEAB，ADBE，设 ABDEx，EC3x，由ABBC28，AD4，不难求出 x 的值，进而求出 AB 和 BC。解：作 DEBC 于 E，B90， ABDE，ADBC，ABDE，BEAD4。，设 DEx，则ABx，EC，ABBC28，ABBEEC28， x43x28，x6
3、。ABx6，BCBE3x41822，梯形 ABCD 面积（ADBC）AB（422）678。说明：通过此题解法，读者可从中体会：题目条件中有三角函数值时常用处理 方法在解题中加以具体应用。例 4、已知：如图所示，ABC 中，C90，E 是 AC 上一点，EDAB 于 D，若 cotBED，cosA，CE。求：DE 的长。分析：此题条件中有两个三角函数值条件，按解题思路想到将它们转化为线段 比，注意二个三角函数所对应的相应线段比有公共线段，这样我们看到可以在 一个直角三角形内用三角函数值表示线段比，然后设未知数，这时就可以将另 外直角三角形的边长用这个未知数表示出，再利用另一个三角函数值所对应的
4、线段比便可得到含未知数的方程，进而求出未知数的值，从而求出题目所要求 的线段的长。解法一：EDAB ，ctgBED，设 DE3x，则BD4x。C90，cosA，设 AD12y，AE13y，则DE5y。DE3x5y，yx，AD12yx，AE13yx，CE，ACAECEx，ABADBDx4xx。，整理，得 165x165，x1，DE3x3。解法二：如图所示，EDAB，cosA，设 AD12x，AE13x，则DE5x，ctgBED，BDDEx，CE，ACAECE13x，ABADBD12xxx，C90，cosA，整理得，55x33，x，DE5x3。解法三：如图所示，C90，cosA，设AC12x，AB
5、13x，则BC5x，CE，AE12x。EDAB，EDA90C，A 公用，ADEACB，DE，AD，BDABAD，ctgBED，整理得，65x56，x，DE3。例 5、已知：如图所示，ABC 中，三边长为 a、b、c，E 是 AB 上一点，EDAC，且 BEED，a、b 是关于 x 的方程的两个根，tanA。求：AD 的值。分析：此题容易想到tgA，设 DE3x，AD4x，则AE5x，AB8x，但苦于找不到另一个含 x 的等式，怎么办？注意条件：a、b 是方程的两根，想到 ab4c，ab4c8，从中想到若能将 a、b、c 都用 x 表示出，问题便迎刃而解，从表面上看仍看不出 a、b、c 之间有何
6、联系，但 题目实在又没有其他条件可用，只有从 ab4c 与 ab4c8 中进一步挖掘 性质，将 ab4c 两边平方：a2b22abc28c16，注意 2ab8c16，从中得到 a2b2c2，故C90，进而发现了 a、b、c 之间 的另外一关系式。解法一：a、b 是方程的两个根，,得 a2b2c2，故C90，EDAC，设DE3x，AD4x，则BEDE3x，AE5x，cABAEBE8x，设a3y，b4y，则，5y8x，a3y，b4y，代入有：48x，解得：x，AD4x45。解法二：如图所示，由解法一知：C90，ab4c，设 a3x，b4x，则 cAB5x，代入式，得：3x4x45x，x2，AB5x
7、10。DEAC，设DE3y，AD4y，则BEDE3y，AE5y，ABAEBE8y，8y10，y，AD4y45。例 6、已知：如图所示，在ABC 中，ACB90，CDAB 于 D，CD1，若 AD、BD 的长是关于 x 的方程 x2pxq0 的两根，且 tgAtgB2。求：此二 次方程。分析一：此题由条件 tgAtgB2，想到将其转换成线段比，从中观察其意义，不难得到，注意 CD1，CD2ADBD，则有 BDAD2，ADBD1，因 AD，BD 是方程的根，则必有 ADBDp，ADBDq1，从中发现只需求 ADBD 的值。这由 BDAD2，ADBD1 不难求得。解法一：ACB90，CDAB，ACD
8、 CBD，CDADBDCD，CD1，ADBDCD21，BDAD2，BD2AD22ADBD4，ADBD1，BD2AD22ADBD448，（AD十 BD）28，ADBD2，pADBD2，qADBD1，所求二次方程是 x22x10。分析二：此题关键是处理条件：tgAtgB2，充分注意条件ACB90，则 AB90，故有 tgBctgA，故有 tgAtgBtgActgA1，从中可解得：tgA1，tg B1，即1，1，注意CD1，从中可求出 AD 和 BD 的值，进而求出二次方程。解法二：ACB90，AB90，tgBtg（90A） ctgA，tgActgA1，tgAtgB1，tgAtgB2，解，得 tgA
9、1，tgB1，CDAB 于D，CD1，tgA1，AD1，tgB1，BD1。AD、BD 是方程 x2pxq0 的两个根，pADBD112，qADBD（1）（1）211，所求二次方程是 x22x10。例 12、已知：如图所示，ABC 中，ACB90，CDAB 于 D，DEAC 于 E。 求证：sin2AcosA。分析：此题由结论中有三角函数，故想到应将它们转化为线段之比，由于图中 有许多三角形，A 分别在 RtADE，RtADC，RtACB 中，又易证 12A，可见在图中任何一个直角三角形中，都可以将 sinA 和 cosA 转 化为线段比，问题是选哪些才能证出本题结论，由于结论另一边与 CE、A
10、B 有关， 因此应选能涉及 CE 与 AB 的直角三角形，从图中看有ACB 和DCE，这样有sinA，因此 sin2A，再和结论比较发现只需证 cosA，而 CD、BC 在 RtBCD 中，cos2cosA。证明一：ACB90，AB90，CDAB，2B90，A2，同理1A2。在 RtABC 中，sinA，在 RtDEC 中，sin1，在 RtADE 中，cos2，由，有 sinAsin1cos2，sin2AcosA。分析二：由于 sin2Acos2A1，故 sin2A1cos2A，故只需证cosA（1cos2A ），如证明一，我们选取与 AB， E 有关的直角三角形，将 cosA 分别用边比表示出来，也可证出此题。证明二：如图可知，sin2Acos2A1，sin2A1cos2A，在 RtABC 中，cosA，在 RtADC 中，cosA，在 RtADE 中 cosA，得：cos2A，1cos2A1，得：cosA（1cos2A ），sin2AcosA。
