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1、用心 爱心 专心- 1 -20132013 年普通高考数学科一轮复习精品学案年普通高考数学科一轮复习精品学案第第 6 6 讲讲 函数与方程函数与方程一课标要求：一课标要求： 1结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的 零点与方程根的联系； 2根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方 法是求方程近似解的常用方法。 二命题走向二命题走向 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似 解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次” （即一元二 次函数、一元二次方程、一元二次不等式）
2、的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论， 并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。 预计 2013 年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数 与方程的关系为目标来考察学生的能力。 （1）题型可为选择、填空和解答； （2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的 思想。 三要点精讲三要点精讲 1方程的根与函数的零点 （1）函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数)(Dxxfy0)(xfx的零点。)(Dxxfy函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数)(xfy 0)(xf的图象与轴交点的横坐标。即：方
3、程有实数根函数的图)(xfy x0)(xf)(xfy 象与轴有交点函数有零点。x)(xfy 二次函数的零点：)0(2acbxaxy），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，02cbxaxx二次函数有两个零点；），方程有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与轴有02cbxaxx一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数02cbxaxx无零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并)(xfy ,ba用心 爱心 专心- 2 -且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得0)()(bfaf)(xfy ),(ba),(
4、bac，这个也就是方程的根。0)(cfc2.二分法 二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断ab)(af)(bf0)(xfy 地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零)(xf点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：)(xf（1）确定区间，验证，给定精度；ab)(af)(bf0（2）求区间，的中点；a()b1x（3）计算：)(1xf若=，则就是函数的零点；)(1xf01x若0，f(x)在区间p，q上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。21用心 爱心 专心- 3 -若f(1m) 当x(1m, +)时,f
5、（x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1m) 根据函数极值判别方法，f(1m)=1m 为极小值，而且 对x(m, +)都有f(x)f(1m)=1m 故当整数 m1 时，f(x) 1m0 (2)证明：由（I）知，当整数 m1 时，f(1m)=1-m1 时，), 1121(032) 12(2213) 11 (3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学mmmmmmmmemefmmmQ类似地，当整数 m1 时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-,1 memmm)与异号，由所给定理知，存在唯一的)(2mefm0)(,1 22xfmemxm使故当 m1 时，方程f(x)=0
6、 在内有两个实根。,2mememm点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间用心 爱心 专心- 6 -的放缩和不等式的应用上。例 4若函数在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是)(xfy （ ）A若，不存在实数使得；0)()(bfaf),(bac0)(cfB若，存在且只存在一个实数使得；0)()(bfaf),(bac0)(cfC若，有可能存在实数使得； 0)()(bfaf),(bac0)(cfD若，有可能不存在实数使得；0)()(bfaf),(bac0)(cf解析：由零点存在性定理可知选项 D 不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足
7、，但其存在三个解”推) 1)(1()(xxxxf2 , 20)2()2(ff1 , 0 , 1翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，) 1)(1()(xxxf2 , 20)2()2(ff但其存在两个解” ；选项 D 正确，见实例“在区间上满足1 , 11)(2 xxf2 , 2，但其不存在实数解” 。0)2()2(ff点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。 题型 3：二分法的概念 例 5关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ）A“二分法”求方程的近似解一定可将在a,b内的所有零点得到；)(xfy B“二分法”求方程的近似解有可能得不到在a,b内的零点；)(xfy C应用“二
8、分法”求方程的近似解，在a,b内有可能无零点；)(xfy D“二分法”求方程的近似解可能得到在a,b内的精确解；0)(xf解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法 只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施 满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。 点评：该题深入解析了二分法的思想方法。例 6方程在0，1内的近似解，用“二分法”计算到达到精确度0)(xf445. 010x要求。那么所取误差限是（ ）A0.05 B0.005 C0.0005 D0.00005解析：由四舍五入的原则知道，当时，
9、精度达到。)4455. 0 ,4445. 010x445. 010x此时差限是 0.0005，选项为C。点评：该题考察了差限的定义，以及它对精度的影响。用心 爱心 专心- 7 -题型 4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解例 7借助计算器，用二分法求出在区间（1，2）内的近似解（精确xx32)62ln(到 0.1） 。解析：原方程即。令，023)62ln(xx23)62ln()(xxxf用计算器做出如下对应值表x21012f(x)2.58203.0530279181.07944.6974观察上表，可知零点在（1，2）内取区间中点=1.5，且，从而，可知零点在（1，1.5）内；1x00.
10、1)5 . 1 (f再取区间中点=1.25，且，从而，可知零点在（1.25，1.5）内；2x20. 0)25. 1 (f同理取区间中点=1.375，且，从而，可知零点在（1.25，1.375）内；3x0)375. 1 (f由于区间（1.25，1.375）内任一值精确到 0.1 后都是 1.3。故结果是 1.3。 点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分 法的过程。例 8借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到） 。732 xx1 . 0分析：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还 可以想到有什么方法确定方程的根的个数？
11、略解：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点。ab)(xfa()b点评：第一步确定零点所在的大致区间，可利用函数性质，也可借助计算机a()b或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为 1 的区 间； 建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度1，20)5 . 1 (f11，1.50)25. 1 (f0.51.25，1.50)375. 1 (f0.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。 题型 5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例 9 设二次函数，方程的两个根满 f xaxbxc a20 f xx 0x
12、x12,用心 爱心 专心- 8 -足. 当时，证明。axx1021xx 01, xf xx1证明：由题意可知，)()(21xxxxaxxf,axxx1021Q ,0)(21xxxxa 当时，。xx 01,xxf)(又,) 1)()()(211211axaxxxxxxxxxaxxf, 011, 0221axaxaxxx且 ,1)(xxf综上可知，所给问题获证。点评：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函 f xx 0数的表达式，从而得到函数的表达式。 xxf)(xf例 10已知二次函数，设方程的两个)0,(1)(2aRbabxaxxfxxf)(实数根为和. 1x2x（1）如果
13、，设函数的对称轴为，求证：；4221xx)(xf0xx 10x（2）如果，求的取值范围.21x212 xxb解析：设，则的二根为和。1) 1()()(2xbaxxxfxg0)(xg1x2x（1）由及，可得 ，即，0a4221xx 0)4(0)2(gg 034160124 baba即 , 043 224, 043 233aabaab两式相加得，所以，；12ab10x（2）由, 可得 。aabxx4)1()(22 211) 1(122ba用心 爱心 专心- 9 -又，所以同号。0121axx21,xx ，等价于21x212 xx 1) 1(1220221baxx或, 1) 1(1202212bax
14、x即 或 1) 1(120)0(0)2(2bagg 1) 1(120)0(0)2(2bagg解之得 或。41b47b点评：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可4221xxxxf)(以考虑利用上述图像特征去等价转化。 题型 6：一元二次函数与一元二次不等式例 11设，若，, 试证 f xaxbxc a20 f 01 f 11f 11明：对于任意，有。 11x f x 5 4解析： , cfcbafcbaf0,1,1 , 0),1() 1 (21),0211(21fcffbfffa . 222 102121xfxxfxxfxf 当时，01x .45 45)21(1)1 (2212210212122222222222 xxxxxxxxxxxxxxfxxfxxfxf当时，10 x用心 爱心 专心- 10 - 222 102121xfxxfxxfxf222 122xxxxx)
