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1、第一节 函数及其表示 考纲 考纲传真1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定 义域和值域；了解映射的概念 2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方 法( 如图象法、列表法、解析法) 表示函数 3了解简单的分段函数，并能简单应用. 考点梳理 1函数 (1)函数的定义 设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y 与它对应， 则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作yf(x) ，x A ，其中x 叫做自变量 (2)函数的定义域、值域 定义域：函数yf(x)自变量取值的范围( 数集A) 叫做这个函数的定义域 值域：所有函数值构成的集合y|yf(x)
2、 ，x A 叫做这个函数的值域 (3)函数的两个要素：定义域和对应法则 2映射 设A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x，在B 中有且仅有一 个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射 3函数的表示方法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法 4分段函数 (1)若函数在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数称为分 段函数 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数 虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 学情自测 1(人教 B 版教材习题改编)给出四个命题：
3、函数是其定义域到值域的映射； f(x) 是一个函数； x 3 2 x 函数y 2x(x N) 的图象是一条直线； f(x)lg x 2 与g(x) 2lg x 是同一函数 其中正确的有( ) A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个 【解析】 由函数的定义知正确 满足f(x) 的x 不存在，不正确 x 3 2 x 又y 2x(xN) 的图象是位于直线y 2x 上的一群孤立的点， 不正确 又f(x) 与g(x)的定义域不同，也不正确 【答案】 A 2下列函数中，与函数yx 相同的是( )Ay By ( ) 2 x2 x x Cy lg 10 xDy 2log 2 x 【解析】 因为y x(x 0
4、) ；y( ) 2 x(x 0) ； x2 x x ylg 10 x x(xR) ；y2log 2 x x(x 0) ，故选 C. 【答案】 C 3函数y x 2 2x 的定义域为0,1,2,3 ，则其值域为_ 【解析】 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 1 0 3 由表知函数的值域为0，1,3 【答案】 0，1,3 4(2012江西高考改编) 设函数f(x) Error!则f(f(3)_. 【解析】 由题意知f(3) ，f( )( ) 2 1 ， 2 3 2 3 2 3 13 9 f(f(3)f( ) . 2 3 13 9 【答案】 13 9 5(2012广东高考) 函数y 的定义域为
5、_ x 1 x 【解析】 要使函数有意义， 需Error! 解得Error! 原函数的定义域为x|x 1 且x 0 【答案】 x|x 1 且x 0 (见学生用书第 10 页) 典例探究 考向一：求函数的定义域 例1.(1)(2013大连模拟)求函数f(x) 的定义域； lg x2 2x 9 x2 (2)已知函数f(2 x )的定义域是1,1 ，求f(x) 的定义域； 【思路点拨】(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可 (2)要明确 2 x 与f(x) 中x 的含义，从而构建不等式求解 【尝试解答】(1)要使该函数有意义，需要Error!则有：Error! 解得：3x0 或 2x
6、 3 ， 所以所求函数的定义域为(3,0) (2,3) (2)f(2 x )的定义域为1,1 ，即1x 1， 2 x 2，故f(x) 的定义域为 ，2 1 2 1 2 【规律方法】 1题(2)中易理解错f(x) 与f(2 x )定义域之间的关系 2(1)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍 (2)对抽象函数：若函数f(x)的定义域为a，b ，则函数f(g(x) 的定义域由不等式ag(x) b 求 出若已知函数f(g(x) 的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x) 在xa，b 时的值域 【变式训练】已知函数f(x) 的定义域为1,2 ，则函数g(
7、x) 的定义域为_ f 2x x 1 0 【解析】 要使函数g(x) 有意义，则必须有Error! x 1，故函数g(x) 的定义域为 f 2x x 1 0 1 2 ，1) 1 2 【答案】 ，1) 1 2 考向二：求函数的解析式 例2.(1) 已知f( 1)lg x，求f(x) ； 2 x (2)已知f(x) 是二次函数且f(0) 2，f(x1) f(x)x 1，求f(x) ； (3)已知f(x) 2f( )x(x 0) ，求f(x) 1 x 【审题视点】(1)用换元法，令 1t ； 2 x (2)本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解 (3)用 代入，构造方程求解 1
8、x【尝试解答】(1)令t 1，则x ， 2 x 2 t 1 f(t)lg ，即f(x) lg . 2 t 1 2 x 1 (2)设f(x) ax 2 bxc(a0)，由f(0)2，得c2， f(x 1)f(x) a(x 1) 2 b(x 1)ax 2 bxx 1， 即 2ax abx 1， Error!即Error! f(x) x 2 x 2. 1 2 3 2 (3)f(x) 2f( )x ，f( ) 2f(x) . 1 x 1 x 1 x 解方程组Error!得f(x) (x0) 2 3x x 3 【规律方法】 求函数解析式常用以下解法： (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
9、 (2)换元法：已知复合函数f(g(x) 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)构造法：已知关于f(x)与f( ) 或f( x) 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解 1 x 方程组求出f(x) 【变式训练】(1)已知f(1 cos x) sin 2 x ，求f(x)的解析式； (2)已知 2f(x) f( x) lg(x 1)，x( 1,1)，求f(x) 的解析式 【解】 (1) 令t 1cos x ，则 cos x1t,0t 2， f(t)1cos 2 x 1(1t) 2 t 2 2t ， 即f(x)x 2 2x(0 x 2) (2)2f(x) f(x)
10、lg(x1)， 2f(x) f(x)lg(1x) ， 解方程组Error!得 f(x) lg(x 1) lg(1x)(1x1). 2 3 1 3 考向三：分段函数及其应用 例3.(1) 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间( 单位：分钟)为 f(x) Error!(A ，c 为常数)已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第A 件产品用时 15 分钟， 那么c 和A 的值分别是( )A75,25 B75,16 C60,25 D60,16 (2)已知函数f(x)Error! 则f(x)f(x)1 的解集为( ) A(，1) (1 ，) B1， ) (0,1 1 2 C( ，0)
11、(1 ，) D1， (0,1) 1 2 【思路点拨】(1)由x A 时，f(x) 15 知，4A，从而可列方程组求解 (2)分1x0 和 0x 1 两种情况求解 【尝试解答】(1)因为组装第A 件产品用时 15 分钟，所以 15， c A 所以必有 4A， 且 30. c 4 c 2 联立解得c60，A 16. (2)当1x0 时，0x1， 此时f(x) x1，f( x) (x)1x 1， f(x)f(x) 1 化为2x21， 得x ，则1x . 1 2 1 2 当 0x 1 时，1x 0， 此时，f(x) x 1，f( x) (x)1x 1， f(x)f(x) 1 化为x1(x1)1， 解得
12、x ，则 0x 1. 3 2 故所求不等式的解集为1， ) (0,1 1 2 【答案】 (1)D (2)B 【规律方法】 1解答本题(2)时，因自变量范围不确定，应分类求解 2应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别 要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论 3若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解， 但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围【变式训练】(2013青岛模拟) 设函数y f(x)在R 上有定义对于给定的正数M ，定义函数f M (x) Error!则称函数
13、f M (x) 为f(x) 的“孪生函数” 若给定函数f(x) 2x 2 ，M 1，则f M (0) 的值为( ) A2 B1 C. D 2 2 【解析】 由题设，f(x)2x 2 1，得当x 1 或x 1 时，f M (x) 2x 2 ；当1x1 时，f M (x) 1. f M (0)1. 【答案】 B 名师微博 一种方法求复合函数yf(g(x)的定义域的方法 (1)若y f(x) 的定义域为(a，b) ，则解不等式得ag(x)b 即可求出yf(g(x) 的定义域；(2) 若 yf(g(x)的定义域为(a，b) ，则求出g(x)的值域即为f(x) 的定义域 两个防范1.解决函数问题，必须优
14、先考虑函数的定义域 2用换元法解题时，应注意换元前后的等价性 三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系值域是由函数的定义域和对应关系所确定的两个 函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等函数是特殊的映射，映射f：A B 的三要 素是集合A 、B 和对应关系f. 高考体验（命题透视） 从近两年高考试题看，函数的定义域、分段函数与分段函数有关的方程、不等式是考查的重点内容， 题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，预计 2014 年仍以分段函数及应用为 重点，同时应特别关注与分段函数有关的方程的问题 思想方法之一 数形结合求解分段函数问题(2012天津高考)已知函数y 的图象与函数ykx 2 的图象恰有两个交点，则实数k 的 |x2 1| x 1 取值范围是_ 【解析】 根据绝对值的意义，y Error! |x2 1| x 1 在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知， 当 0k1 或 1k4 时有两个交点【答案】 (0,1)(1,4) 阅卷心语 易错提示：(1)没有化简函数解析式，从而无法画出函数图象求解 (2)不知
