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1、1 第一章、预备知识 一、考虑二次函数 2 2 1 1 2 2 1 2 2 3 f X x xx x x x 1) 写出它的矩阵向量形式: f X 1 2 T T Qx x x b 2) 矩阵 Q 是不是奇异的? 3) 证明: f(x)是正定的 4) f(x)是凸的吗? 5) 写出 f(x)在点 = 处的支撑超平面(即切平面)方程 x 2,1 T 解: 1) f(x)= x x x x x x 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 = + x x 2 1 2 1 6 2 2 2 x x 2 1 1 1 T x x 2 1 其中 x= ,Q= , b= x x 2 1 6 2 2 2 1 12
2、) 因为 Q= ,所以 |Q|= =80 即可知 Q 是非奇异的 6 2 2 2 6 2 2 23) 因为|2|0, =80 ,所以 Q 是正定的,故 f(x)是正定的 6 2 2 24) 因为 = ,所以| |=80,故推出 是正定的, 2 ( ) f x 6 2 2 2 ) ( 2 x f ) ( 2 x f 即 是凸的 ) ( 2 x f 5) 因为 = ,所以 =(5,11) ) (x f 2 1 2 1 (2x 2 -1,2 6 1) x x x T ) (x f 所以 在点 处的切线方程为 5( )+11( )=0 ( ) f x x 2 1 x 1 2 x 二、 求下列函数的梯度
3、问题和 Hesse 矩阵1) =2 + + ( ) f x x 1 2 x x x x x 2 3 9 2 3 1 2 1 x x x 2 3 2 2 2) = ( ) f x 2 2 1 2 ( ) 2 1 n l x xx x 解: 1) = ( , ) ) (x f , 9 4 3 2 1 x x x 2 6 3 2 1 x x x x x 2 1 9 2= ) ( 2 x f 0 1 9 1 6 1 9 1 42) =( , ) ) (x f x x x x x x 1 1 2 2 2 1 2 2 1 x x x x x x 1 1 2 2 2 1 2 2 1 = ) ( 2 x f
4、) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 4 2 2 2 1 2 1 4 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 三、 设 f(x)= ,取点 .验证 x x x x x x x 3 2 3 2 2 3 3 2 2 1 2 2 ) 1 , 1 , 1 ( ) 1 ( T x =(1,0,-1)是 f(x)在点 处的一个下
5、降方向,并计算 f( +t ) d ) 1 ( x ) 1 ( 0 min t x ) 1 ( d ) 1 (证明: = ) (x f ) 1 2 4 , 1 2 3 , x2 ( 2 3 3 2 2 1 x x x x T) 5 , 4 , 2 ( ) ( 1 T x f d =(1,0,-1) = -30 x ) 1 ( d ) 1 ( 所以 f( +t )=3*0.25-3*0.5+4=3.25 0 min t x ) 1 ( d ) 1 ( 四、 设 （j=1,2,.,n）考虑问题 , , i i i a b c Min f(x)= n j j j x c 13 s.t. b n j
6、j jx a 1(j=1,2,.,n) 0 xj 1) 写出其 Kuhn Tuker 条件 2) 证明问题最优值是 ) ( 1 2 1 1 2 n j j j b c a解：1）因 为目标函数的分母故 ) ,., 1 ( n j xj 0 xj 所以 （j=1,n）都为 0 j 所以 Kuhn Tuker 条件为 0 ) ( ) ( x h x f 即 + =0 x c x c x c n n 2 2 2 2 2 1 1 M a a a n M 2 1 2）将 代入 h(x)=0 只有一点 a c x j j j 得 2 2 1 1 ( ) n j j j n b n j j j b a c
7、a c 故有 a c c a x j j n j j j j b 1所以最优解是 . 2 1 2 1 1 ( ) n j j j b a c 五、使用 Kuhn Tuker 条件，求问题 min f(x)= ) 2 ( ) 1 ( 2 1 2 2 x x4 s.t. 0 , 0 2 1 2 1 2 1 1 2 x x x x x x 的 Kuhn Tuker 点，并验证此点为问题的最优解解：x=(1/2,3/2) 故 ， =0 0 1 2则 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 x x x f h h 即 0 1 1 1 1 4 2 2 2 2 1 2 1 x x 1 2 0, 1 而
8、2 0 0 2 ) ( 2 x f 2 1 0 g x 2 2 0 g x , 2 1 0 h x 2 2 0 h x 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 H x f x g x g x h x h x f x 1 2 1 2 1 2 1 3 | 0 0 | 1 0 2 0 , 2 2 T T T x y h y h y y y y y y 故 , 0 8 ) ( 2 x x f x T即其为最优解. 第二章、无约束优化问题 一、 设f(x)为定义在区间a,b上的实值函数， 是问题minf(x)|a x 的最优解。证明：f(x)是a,b上的单谷函数的充要条件是对任意 b x
9、 x x x x b a 2 1 2 1 , , , 满足f( )f( ) x 1 x2 x 1 x x 2 x 1则 = 且f( )f( ) x 2 x x 1 x2 = 且 f( )f( ) x 1 x x 2 1 ) 1 ( x 2 x x x 2 1 ) 1 ( x 1 满足单谷函数的定义二、设 , x 1 x 2 0 ) ( , 0 ) ( 2 1 x x f f 1)证明:满足条件的二次函数 是（严格） ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( 2 2 1 1 1 1 x x x x x x f f f ) (x 凸函数 2）证明：由二次插值所得f(x)的近似极小值点（即
10、 的驻点）是 ) (x ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 2 2 x x x x x x f f f x 或者) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 1 2 1 x x x x x x f f f x 证明：1）设 = （ ） ) (x c bx a x 2 0 a则 b ax x 2 ) ( 由 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 1 1 1 x x x x x x f b a f b a 得 ) ( ) ( ) ( ( ) ( , 0 ) ( 2 ) ( ) ( 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 x x x x x x x x x x f f f b f f a 或 ) ( ) ( ) ( ( ) ( 1 2 1 2 2 2 x x x x x x f f f b 故 1）得证2） 的驻点为 ) (x ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 2 1 x x x x x x f f f a b x 或 x x 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 2 x x x x x f f f
