《(101203)2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(101203)2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设 ，则 （ ） 0 a b 1 0 lim n n n n a b . . A a B 1 a . . C b D 1 b （2）设函数 在区间 上连续，则 是函数 的（ ） ( ) f x 1,1 0 x 0 ( ) ( ) x f t dt g x x 跳跃间断点. 可去间断点. A B 无穷. 振荡. C D （3）设 是连续奇函数， 是连续偶函数，区域 ( ) f x ( ) g x 则正确的
2、（ ） ( , ) 0 1, D x y x x y x . . A ( ) ( ) 0 D f y g x dxdy B ( ) ( ) 0 D f x g y dxdy . . C ( ) ( ) 0 D f x g y dxdy D ( ) ( ) 0 D f y g x dxdy （4）曲线段方程为 函数在区间 上有连续导数则定积分 （ ） ( ) y f x 0, a 0 ( ) a t af x dx 曲边梯形 面积. 梯形 面积. A ABCD B ABCD曲边三角形 面积. 三角形 面积. C ACD D ACD （5）设 为阶非 0 矩阵 为阶单位矩阵若 ，则（ ） A E
3、3 0 A 不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆. A E A E A B E A E A 可逆， 可逆. 可逆， 不可逆. C E A E A D E A E A （6）设 则在实数域上域与 合同矩阵为（ ） 1 2 2 1 A A . . A 2 1 1 2 B 2 1 1 2 . . C 2 1 1 2 D 1 2 2 1 （7）随机变量 独立同分布且 分布函数为 ，则 分布函数为（ ） , X Y X F X max , Z X Y . . A 2 F X B F X F Y. . C 2 1 1 F X D 1 1 F X F Y （8）随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ） 0,1 X
4、 N : 1,4 Y N : 1 XY . . A 2 1 1 P Y X B 2 1 1 P Y X . . C 2 1 1 P Y X D 2 1 1 P Y X 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数 在 内连续，则 . 2 1, ( ) 2 , x x c f x x c x ( , ) c （10）已知函数 连续且 ，则曲线 上对应 处切线方程为 . ( ) f x 0 ( ) lim 2 x f x x ( ) y f x 0 x （11） . 2 1 1 0 3 ln y dx x xdy （12）微分方程 通解是
5、. 2 ( ) 0 x y x e dx xdy y （13）设 3 阶矩阵 的特征值互不相同，若行列式 ，则 的秩为 . A 0 A A （14）设随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，则 . X 2 P X EX 三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分 10 分） 求极限 . 2 0 1 sin lim ln x x x x (16)（本题满分 12 分）设 ， ，求 的极值、单调区间和凹凸区间. 1 0 f x t t x dt 0 1 x f x(17)（本题满分 12 分） 求函数 在在约
6、束条件 和 下的最大和最小值. 2 2 2 u x y z 2 2 z x y 4 x y z (18)（本题满分 12 分） 设 是由方程 所确定的函数，其中 具有 2 阶导数且 时） ，求 , z z x y 2 2 x y z x y z 1 dz （2）记 ，求 . 1 , z z u x y x y x y u x (19)（本题满分 12 分） 是周期为 2 的连续函数， f x （1）证明对任意实数都有 2 2 0 t t f x dx f x dx （2）证明 是周期为 2 的周期函数 2 0 2 x t t g x f t f s ds dt (20)（本题满分 9 分） 设
7、 为 3 阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 ， A 1 2 , a a A 1,1 3 a 3 2 3 Aa a a 证明（1） 线性无关； 1 2 3 , , a a a （2）令 ，求 . 1 2 3 , , P a a a 1 P AP （21） （本题满分 9 分）设矩阵 ，现矩阵 满足方程 ，其中 ， ， 2 2 2 1 2 1 2 n n a a a A a a O O O A AX B 1 , , T n X x x L 1,0, ,0 B L （1）求证 1 n A n a （2） 为何值，方程组有唯一解 a （3） 为何值，方程组有无穷多解 a （22） （本题满分 9 分） 设随机变量 与 相互独立， 概率分布为 ，概率密度为 ，记 X Y X 1 1,0,1 3 P X i i 1 0 1 0 Y y f y 其它 Z X Y （1）求 1 0 2 P Z X （2）求 的概率密度 Z. （ 23） （本题满分 9 分） 设某企业生产线上产品合格率为 0.96，不合格产品中只有 产品可进行再加工且再加工，合格率为 0.8，其余均为废品，每件合格品获利 80 元， 3 4 每件废品亏损 20 元，为保证该企业每天平均利润不低于 2 万元，问企业每天至少生产多少产品？.
