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1、海门市麒麟中学 2013级高一数学讲义（39） 基本不等式的应用 编写：顾军 审核：季金斌 2014-5-10 学习目标： 1. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题；2. 通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。 重点与难点：从实际问题抽象出数学模型. 教学过程： 一、复习 1.如果 log 3 m+log 3 n=4, 那么 m+n 的最小值是 2.已知正数 x , y满足 x+2y=1 , 则 的最小值为_ y x 2 1 3.已知 x0 , y0 , 且 , 则 lgx+lgy 的最大值为_ 1 5 2 y x 二、精典范例 例 1用长为 4a 的铁丝围成一个矩形,
2、怎样才能使所围矩形的面积最大 (用基本不等式求解) 例 2某工厂建造一个无盖的长方体贮水池, 其容积为 4800m 3 , 深度为 3m , 如果池底每 1m 2 的造价为 150元, 池壁每 1m 2 的造价为 120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为 多少元? 例 3.点(1 , 2)的直线l 与 x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于 A、B 两点, 当AOB 的面积最 小时, 求直线l 的方程海门市麒麟中学 2013级高一数学讲义（39） 例 4某商场预计全年分批购入每台价值为 2000元的电视机共 3600台, 每批都购入 x台(x 为 正整数), 且每批需付运费 400元
3、, 储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总 价值(不含运费)成正比, 若每批购入 400台, 则全年需用去运费和保管费 43600元, 现在全年只 有 24000元资金可用于支付这笔费用, 能否恰好当地安排每批进货的数量, 使资金够用, 写出 你的结论, 并说明理由. 例 5.图(见书 P 90 )一份印刷品的排版面积(矩形)为 A , 它的两边都留有宽为 a 的空白, 顶部和底 部都留有宽为 b的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小? 练习： 1.幅壁画画面与地面垂直, 且最高点离地面 14米, 最低点离地面 2米, 若从离地面 1.5米处观 赏此画, 问离墙多远时
4、, 视角最大?海门市麒麟中学 2013级高一数学讲义（39） 2. 过第一象限内点 P(a , b)的直线l 与 x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于 A、B 两点, 当 取最小值时, 求直线l 的方程. | | | | PA PB 3.汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距离叫做 “刹车距离”, 在某公路上, “刹车距离”S (米)与汽车车速 v (米/秒)之间有经验公式: S= + , 为保证安全行驶, 要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为 2 40 3 v v 8 5 “刹车距离”再加 25米, 现假设行驶在这条公路上的汽车在平均车
5、身长 5米, 每辆车均以相同 的速度 v行驶, 并且每两辆之间的间隔均是“安全距离”. (1)试写出经过观测点 A 的每辆车之间的时间间隔 T 与速度 v函数关系式; (2)问 v为多少时, 经过观测点 A 的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大?海门市麒麟中学 2013级高一数学讲义（39） 4.种汽车购车时费用为 10万元, 每年的保险、养路、汽油费用共 9千元, 汽车的年维修费逐年 以等差数列递增, 第 1年为 2千元, 第 2年为 4千元, 第 3年为 6千元, 则这种汽车使用 几年后报废最合算? (即汽车的年平均费用最低) 5.资生产某种产品, 并用广告方式促销, 已知生产这种产品的年固定投资为 10万元, 每生产 1 万件产品还需投入 18万元, 又知年销量 W(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 W= (x0), 且知投入广告费 1万元时, 可多销售 2万件产品. 预计此种产品年销售收入 1 1 x kx M(万元)等于年成本(万元)(年成本中不含广告费用)的 150%与年广告费用 50%的和.(1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数;(2)当年广告费为多少万元时, 年利润最大? 最大年利润是多少万元? 三、课堂小结 会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。
