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1、基本不等式的证明教学设计 靖江市第一高级中学 陆钊 一、 教材分析（一）教材所处的地位和作用 “基本不等式： ”是全日制普通高中新课程标准实验教科书数学必修 ( 0, 0) 2 a b ab a b 5“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究本节内容具有变 通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实 际问题，学数学用数学的好素材，同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有 利于培养学生良好的思维品质（二）教学目标 1. 知识目标： 探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法； 会用基本不等式
2、解决简单的最大（小）值问题；2能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想3.情感、态度和价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣，并通过不 等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。 （三）教学重点、难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程。 2 a b ab 难点：理解基本不等式 等号成立条件及 “当且仅当 时取等号”的数学内涵。 2 a b ab b a （四）教材处理依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学第一课时讲解基本不等式： 及它们的几何解释掌握应用基本不等式： 解决某 ( 0, 0) 2 a b ab a b ( 0,
3、 0) 2 a b ab a b 些数学问题第二课时讲解基本不等式： 解决某些实际问题为了讲好基本不 ( 0, 0) 2 a b ab a b 等式这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题 二、教法分析 （）教学方法先让学生通过比较抽象出基本不等式，然后引导他们运用比较法、分析法和综合法去证明基本不等 式 ，其次在求函数最值时会运用拆项、凑项的方法，创造使用基本不等式的条 ( , 0) 2 a b ab a b 件 （二）教学手段：多媒体教学 三、教学过程 3.4基本不等式： 0 , 0 , 2 b a b a ab （第一课时） （一）情景引入 把一个物体放在天平的一
4、个盘子上，而在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 ，由于 a 天平制造得不精确，天平的二臂略有不同（其他因素不计） ，那么 并非实际质量。不过，我们可作第 a 二次测量，把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为 。那么物体的实际质量是多少呢？ b （二）学生活动 1、 让学生猜测结论，学生会提出如下猜测：物体的实际质量应为 。 2 a b 2、 让学生分组讨论：上述猜测正确吗？让几个小组代表介绍讨论结果，教师点评，并提出新的问题。实际结果应为 （推导见课 G ab 本） 。 3、 对于正数 称 为 的算术平均数， 为 的几何平均数。 , , a b 2 a b , a b
5、 ab , a b 4、问题：两个正数 的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？ , , a b （三）建构数学 1.学生通过取一些具体数据进行实验，作出猜想： 。 2 a b ab 如何证明上述结论呢？ 2.呈现课题：基本不等式的证明 引导学生分析、思考，给出基本不等式的证明，点评有关问题。 3. 教师点评：（1（ 证明时采取的方法分别是：方法一：比较法，方法二：分析法，方法三：综合法，教学中要让学 生领会这些基本不等式证明方法。 （2（ 这个不等式的基本几何解释即“半弦 半径”。 4. 通过严格证明，得到下列结论：对任意正数 、 ，有 当且仅当 时等号成立。 a b , 2 a
6、b ab a b 5. 基本不等式：若 ，有 当且仅当 时等号成立 0 , 0 b a , 2 a b ab a b （四）例题讲解 例1设 为正数，证明下列不等式成立，并说明何时取等号 , a b （1） ； （2） 2 b a a b 1 2 a a 分析 ： 可直接应用定理进行证明，并注意应用定理的条件，以及等号成立的条件。 例 2. 已知函数 ，求 的最小值。 ) , 2 ( , 2 16 x x x y y 变式 1.若 求 的最大值。 ) 2 , x 2 16 x x y 变式 2.若 求 的最小值。 ), , 4 x 2 16 x x y 思考：.若 如何求 的值域。 , 2 x
7、 2 16 x x y 分析 ：不能直接使用基本不等式，应将其变形成 ，并对前两项使用基本不等式。 16 ( 2) 2 2 x x 利用基本不等式求最值要满足三个条件:一正，二定，三相等，在这条例题中都有体现。 （五）练习： 1. 若 则 与 的大小关系为_ , 2 x 2 x 1 2 x x 2. 证明下列不等式 ab b a 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a 3. 求函数 的最小值，并求函数取最小值时 的值。 2 2 9 4 x x y x 4. 求函数 的值域。 x x y 1 ) 0 ( x 让学生板演，教师评析。加强和巩固基本知识 （六）课堂小结 让学生回顾小结本节课所学内容及主要收获，教师总结。 （1（ 基本不等式 及其证明 ( , 0) 2 a b ab a b （2（ 基本不等式的简单应用（证明不等式，求函数最值） 。（七）布置作业课课通基本不等式（1） 四、板书设计 五、教学反思 1、 本节在考试说明中的要求为会用基本不等式及解决简单的有求最值问题，在考试中一般以小题的形势 出现，难度不大。对于普通班的理科生的教学，我主要抓基本题型，基本方法，严格控制难度。 2、在归纳出基本不等式的时候用的时间稍长了点，以至于后面讲解例二的时候学生思考的时间不够多； 在讲例一的时候没有细细总结证明不等式的方法。
