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1、0 旋转液体综合实验 浙江大学物理实验教学中心 2005-111 旋转液体综合实验 在力学创建之初，牛顿的水桶实验就发现，当水桶中的水旋转时，水会沿着桶壁上升。旋转的 液体其表面形状为一个抛物面，可利用这点测量重力加速度；旋转液体的抛物面也是一个很好的光 学元件。美国的物理学家乌德创造了液体镜面，他在一个大容器里旋转水银，得到一个理想的抛物 面，由于水银能很好地反射光线，所以能起反射镜的作用。 随着现代技术的发展液体镜头正在向一“大”一“小”两极发展。大，可以作为大型天文望远镜的 镜头； 反射式液体镜头已经在大型望远镜中得到了应用，代替传统望远镜中使用的玻璃反射境。 当盛满液体（通常采用水银）
2、的容器旋转时，向心力会产生一个光滑的用于望远镜的反射凹面。通 常这样一个光滑的曲面，完全可以代替需要大量复杂工艺并且价格昂贵的玻璃镜头，而哈勃空间望 远镜的失败也让我们了解了玻璃镜头何等脆弱。 小，则可以作为拍照手机的变焦镜头。美国加利福尼亚大学的科学家发明了液体镜头，它通过 改变厚度仅为 8mm 的两种不同的液体交接处月牙形表面的形状，实现焦距的变化。这种液体镜头 相对于传统的变焦系统而言，兼顾了紧凑的结构和低成本两方面的优势。 旋转液体的综合实验可利用抛物面的参数与重力加速度关系，测量重力加速度，另外，液面凹 面镜成像与转速的关系也可研究凹面镜焦距的变化情况。还可通过旋转液体研究牛顿流体力
3、学，分 析流层之间的运动，测量液体的粘滞系数。 【实验原理】 一、 旋转液体抛物面公式推 导定量计算时，选取随圆柱形容器旋转的参考系，这是一个转动的非惯性参考系。液相对于参考 系静止，任选一小块液体P，其受力如图1。Fi为沿径向向外的惯性离心力，mg为重力，N为这一 小块液体周围液体对它的作用力的合力，由对称性可知，N必然垂直于液体表面。在X-Y坐标下 P(x,y) 则有： cos 0 N mg sin 0 i N F 图 1 原理图2 2 i F m x 2 tan dy x dx g 根据图1有： （1） 0 2 2 2 y x g y 为旋转角速度， 为 处的 值。此为抛物线方程，可见液
4、面为旋转抛物面。 0 y 0 x y 二 、 用旋转液体测量重力加速度 g 在实验系统中，一个盛有液体半径为 R 的圆柱形容器绕该圆柱体的对称轴以角速度 匀速稳定 转动时，液体的表面形成抛物面，如图2。 设液体未旋转时液面高度为 h ，液体的体积为： h R V 2 （2） 因液体旋转前后体积保持不变，旋转时液体体积可表示为：（3） xdx y g x dx x y V R ) 2 ( 2 ) 2 ( 0 2 2 0 由（2） 、 （3）式得：（4） g R h y 4 2 2 0 联立（1） 、 （4）可得，当 时， 2 / 0 R x x ，即液面在 处的高度是恒定值。 h x y ) (
5、 0 0 x 方法一：用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量 重力加速度g 如图 2所示，设旋转液面最高与最低处的高度 差为 ，点（ ）在（1）式的抛物线上， h h y R 0 , 有 ， 0 2 2 0 2 y g R h y 得： h R g 2 2 2 图 2 实验示意图3 又 ，则 2 60 n （5） 2 2 2 7200 D n g h 为圆筒直径， 为旋转速度（转/分）。 D n方法二、斜率法测重力加速度如图2所示，激光束平行转轴入射，经过BC透明屏幕，打在 的液面 点上，反射 2 0 R x A 光点为 ， 处切线与 方向的夹角为 ，则 ，测出透明屏幕至圆桶底部的距离 、 C
6、 A x 2 BAC H 液面静止时高度 ，以及两光点 间距离 ，则 ，求出 值。 h BC d h H d 2 tan 因为 ，在 处有 2 tan dy x dx g 2 0 R x 2 tan 2 R g 因为 ， 2 60 n 则 2 2 2 2 2 2 4 2 tan 60 2 3600 2 3600 2 n R Rn Dn g g g (6) 2 2 3600 2 tan D g 或可作 曲线，求斜率 ，可得 ，求出 tan 2 n k 2 2 3600 2 D k g 2 2 3600 2 D g k 三、验证抛物面焦距与转速的关系 旋转液体表面形成的抛物面可看作一个凹面镜，符合
7、光学成像系统的规律，若光线平行于曲面 对称轴入射，反射光将全部会聚于抛物面的焦点。 根据抛物线方程（1） ，抛 物面的焦距 。 2 2 g f 四、测量液体粘滞系数 图 3 液体粘滞系数测量原理图4 在旋转的液体中，沿中心放入张丝悬挂的圆柱形物体，圆柱高度为 ，半径为 ，外圆桶半径 L 1 R 为 ，如图3所示。 2 R 外圆筒以恒定的角速度 旋转，在转速较小的情况下，流体会很规则地一层层地转动，稳定 0 时圆柱形物体静止角速度为零。 1、设外圆桶稳定旋转时，圆柱形物体所承受的阻力矩为 ，则 M = 圆柱侧面所受液体的阻力矩 + 圆柱底面所受液体摩擦力矩 （推导略） M 1 M 2 M（7）
8、2 2 1 2 1 0 2 2 1 2 4 R R M L R R （8） z R M 2 0 4 2 2 圆柱形物体所承受的液体阻力矩M（9） z R R R R R L M M M 2 4 0 4 2 2 2 2 1 2 2 2 1 0 2 1 2、张丝扭转力矩 。 M 悬挂圆柱形物体的张丝为钢丝，其切变模量为 ，张丝半径为 ，张丝长度为 。转 G R L 动力矩为： （10） 4 2L GR M 该式表示力矩 与扭转角度 成正比。 M 在液体旋转系统稳定时，液体产生的阻力矩与悬挂张丝所产生的扭转力矩平衡，使得圆柱形物 体达到静止。 所以 M M 从（9） 、 （10）式可以解出粘度系数为
9、：（11） 4 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 0 4 ) ( 8 ) ( 2 2 R R R R zR L R R z L GR 其中：金属张丝的切变模量 G张丝半径 R张丝长度 L为偏转角度 圆桶转速 0 圆柱底面到外圆桶底面的距离 z 圆柱高度 L圆柱半径， 1 R为外圆桶半径 2 R5 【实验装置】 1激光器 2.米刻度水平屏幕 3 .水平标线 4.水 平仪 5.激光器电源插孔6.调速开关 7.速度显示窗 8.圆柱形实验容器 9.水平量角器 10.米刻度垂直屏幕 11.张丝悬挂圆柱体 12.实验容器内径 刻线（见底 2 / R 盘红线）（可自行标注） 【实验内容】
10、1、仪器调整 a、水平调整 将圆形水平仪放在载物台中心，调整仪器底部支撑脚， 直到水平仪上的气泡到中心位置。 b、激光器位置调整 用自准直法调整激光束平行转轴入射，经过透明屏幕，对 准桶底 处的记号， 为圆桶内径。 2 0 R x R 2、测量重力加速度g(装置见图5) 1）用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度g 改变圆桶转速 （转/秒） （ ）6次，测量液面最高与 n n 2 最低处的高度差，计算重力加速度 。 g 2）斜率法测重力加速度 将透明屏幕（1）置于圆桶上方，用自准直法调整激光束 平行转轴入射，经过透明屏幕，对准桶底 处的记号， 2 0 R x 测出透明屏幕至圆筒底部的
11、距离 、液面静止时高度 。 H h 改变圆桶转速 （转/分） （ ）6次，在透明屏幕 n 2 60 n 上读出入射光与反射光点 间距离 ，则 ， BC d h H d 2 tan 求出 值。 tan 3、验证抛物面焦距与转速的关系(装置见图6) 将毫米刻度垂直屏幕过转轴放入实验容器中央，激光束平行转 轴入射至液面，后聚焦在屏幕上，可改变入射位置观察聚焦情 况。改变圆桶转速 （转/分） （ ）6次，记录焦点位置。 n 2 60 n 4、研究旋转液体表面成像规律 图 4 图 56给激光器装上有箭头状光阑的帽盖，使其光束略有发散且在屏幕上成箭头状像。光束平行光轴 在偏离光轴处射向旋转液体，经液面反射
12、后，在水平屏幕上也留下了箭头。固定转速，上下移动屏 幕的位置，观察像箭头的方向及大小变化。实验发现，屏幕在较低处时，入射光和反射光留下的箭 头方向相同，随着屏幕逐渐上移，反射光留下的箭头越来越小直至成一光点，随后箭头反向且逐渐 变大。也可以固定屏幕，改变转速 ，将会观察到类似的现象。 n 5、测量液体粘滞系数(装置见图7) 装好实验装置、将张丝悬挂的圆柱体垂直置于液体中心，柱 体上表面有一刻度线记号，低速旋转液体，稳定后柱面上刻度线 偏一角度，用激光器和量角器测出偏转角。同一转速测三次，改 变转速3次。 测量： G 金属张丝的切变模量 1、 张丝半径 2、 张丝长度 3、 圆柱底面到外圆桶 R
13、 L z 底面的距离 4、 圆柱高度 5、 圆柱半径 6、 圆筒容 L 1 R 2 R 器半径 【数据处理】（参考数据） 1、测量重力加速度g 方法一: ) / ( 983 2 s cm g 杭州地区重力加速度公认值： 2 979.30 / g cm s 实验相对误差： 测量结果： % 4 . 0 E ) / %)( 4 . 0 1 ( 983 2 s cm g 方法二: 屏幕高度 ,液面高度 13.0 H cm 5.5 h cm 次数 1 2 3 4 5 6 转速 （转/分） n 50 60 70 80 90 100 间距离 BC / d mm 17.2 23.2 31.5 43.3 54.
14、6 70.8 h H d 2 tan 0.218 0.307 0.420 0.565 0.735 0.958 0.107 0.149 0.199 0.257 0.317 0.382 tan 0.108 0.151 0.202 0.263 0.328 0.402 次数 1 2 3 4 5 6 转速 （转/分） n 90 95 105 115 125 135 高度差 (cm) h 1.18 1.36 1.61 1.93 2.35 2.68 2 ( / ) g cm s 996 963 994 995 965 987 图 7 图 67 2 ( / ) g cm s 924 957 970 971 9
15、85 993测量结果： ) / ( 967 2 s cm g % 2 . 1 E ) / %)( 2 . 1 1 ( 967 2 s cm g 2、验证抛物面焦距与转速的关系 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 转速 （转 n /秒） 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 所测焦距 f ) cm （ 13.21 11.14 9.55 8.60 7.58 6.87 6.03 5.21 4.55 4.30 3.88 3.56 计算值焦距 ) (cm f 12.40 10.57 9.11 7.94 6.98 6.18 5.51 4.95 4.46 4.05 3.69 3.38 3、测量液体粘滞系数 实
