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1、第 1 页 共 2 页 第 2 页 共 2 页 1、如图，直三棱柱ABCA 1 B 1 C 1 中，D，E分别是 AB，BB 1 的中点，AA 1 =AC=CB= （1）证明：BC 1 平面A 1 CD； （2）求异面直线BC 1 和A 1 D所成角的大小； （3）当AB= 时，求三棱锥CA 1 DE的体积 2、如图，ABCD是正方形，DE平面ABCD （1）求证：AC平面BDE； （2）若AFDE，DE=3AF，点M在线段BD上，且 BM= BD，求证：AM平面 BEF 3、在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平 面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2
2、 （1）求证：PCAE； （2）求证：CE平面PAB； （3）求三棱锥PACE的体积V 4、如图，三角形ABC中，AC=BC= ，ABED是边长为 1的正方形，平面ABED底面ABC，若G、F 分别是 EC、BD的中点 （）求证：GF底面ABC； （）求证：AC平面EBC； （）求几何体ADEBC的体积V 5、设函数f（x）=lnxax， （）当a0时，求函数f（x）在区间1，e内的最大值； （）当a=1时，方程2mf（x）=x 2 有唯一实数解，求正数m的值 6、已知函数 1 ln ( ) x f x x . (1) 若函数 ( ) f x 在区间 1 ( , ) 2 a a 上存在极值，求
3、正实数a的取值范围； (2) 如果当 1 x 时，不等式 ( ) 1 k f x x 恒成立，求实数k 的取值范围. 7、已知函数f（x）= +lnx（aR） （）当a=1时，求f（x）的最小值； （）若f（x）在（0，e上的最大值为2，求实数a的值； （）当a=1时，试判断函数g（x）=f（x）+ 在其定义域内的零点的 个数 8、设函数f（x）=e x +ax1（P为自然对数的底数） （1）当a=1时，求过点（1，f（1） ）处的切线与坐标轴围成的面积： （2）试讨论f（x）的单调性； （3）若对于任意的x 1 （0，1） ，总存在x 2 0，1使得f（x 1 ） x 1 2 e x x 2
4、 1恒成立，求实数a的取值范围答案第 0 页，总 3 页 参考答案 1、 【答案】 （1）证明：连接AC 1 与A 1 C相交于点F，连 接DF， 由矩形ACC 1 A 1 可得点F是AC 1 的中点，又D是AB的中点， DFBC 1 ， BC 1 ？平面A 1 CD，DF？平面A 1 CD， BC 1 平面A 1 CD； （2）解：由（1）可得A 1 DF或其补角为异面直线BC 1 和A 1 D所成角不妨取AB=2 = =1， A 1 D= = = ， =1 在A 1 DF中，由余弦定理可得：cosA 1 DF= = ， A 1 DF（0，） ，A 1 DF= ，异面直线BC 1 和A 1
5、D所成角的大小； （3）解：AC=BC，D为AB的中点，CDAB， 平面ABB 1 A 1 平面ABC=AB，CD平面ABB 1 A 1 ，CD= = = S BDE = = ， 三棱锥CA 1 DE的体积V= = =1 2、 【答案】 （1）因为DE平面ABCD，所以DE AC 因为ABCD是正方形，所以ACBD，又BDDE=D ， 从而AC平面BDE （2）延长EF、DA交于点G， 因为AFDE，DE=3AF，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ，所以AMGB， 又AM？平面BEF，GB？平面BEF，所以AM平面BEF3、 【答案】 （1）在RtABC中，AB=1，BAC=6 0， BC= ，
6、AC=2取PC中点F，连AF，EF， PA=AC=2，PCAF PA平面ABCD，CD？平面ABCD， PACD，又ACD=90，即CDAC， CD平面PAC，CDPC， EFPC，PC平面AEF，PCAE （2）证明：取AD中点M，连EM，CM则EMPA EM？平面PAB，PA？平面PAB，EM平面PAB在RtACD中，CAD=60 ，AC=AM=2，ACM=60而BAC=60，MCABMC？平面PAB， AB？平面PAB，MC平面PAB EMMC=M，平面EMC平面PABEC？平面EMC，EC平面PAB （3）由（1）知AC=2，EF= CD，且EF平面PAC在RtACD中，AC=2，CA
7、 D=60，CD=2 ，得EF= 则V= 4、 【答案】 （I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH， （如图） G、F分别是EC和BD的中点HGBC，HFDE， 又ADEB为正方形DEAB，从而HFAB HF平面ABC，HG平面ABC，HFHG=H， 平面HGF平面ABC GF平面ABC 证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接 GM、FN、MN（如图） G、F分别是EC和BD的中点答案第 1 页，总 3 页 又ADEB为正方形BEAD，BE=AD GMNF且GM=NFMNFG为平行四边形 GFMN，又MN？平面ABC，GF平面ABC 证法三：连接AE，ADEB为正方形，AEBD=F，且F
8、 是AE中点，GFAC，又AC？平面ABC，GF平面 ABC （）ADEB为正方形，EBAB，GF平面ABC 又平面ABED平面ABC，BE平面ABC BEAC又 CA 2 +CB 2 =AB 2 ACBC，BCBE=B，AC平面BCE （）连接CN，因为AC=BC，CNAB， 又平面ABED平面ABC，CN？平面ABC，CN平面ABED 三角形ABC是等腰直角三角形， ， CABED是四棱锥，V CABED = = 5、 【答案】 （1） 令f（x）=0得 时，f（x）0， 时，f（x）0， f（x）在 递增，在 递减 当 即a1时，f（x）在1，e上递减， x=1时f（x）取最大值f（1）
9、=a 当 即 时，f（x）在 递增，在 递减 ， 时，f（x）取最大值 当 即 时，f（x）在（1，e）递增， x=e时f（x）取最大值f（e）=1ae （2）方程2mf（x）=x 2 有唯一实数解，即x 2 2mlnx2mx=0有唯一实数解 ， 设g（x）=x 2 2mlnx2mx，则 令g（x）=0，x 2 mxm=0 m0，x0， （舍去） ， 当x（0，x 2 ）时，g（x）0，g（x）在（0，x 2 ）上单调递减；当x（x 2 ，+）时，g（x）0，g（x）在（x 2 ，+）上单调递增 g（x）最小值为g（x 2 ） 则 ，即 2mlnx 2 +mx 2 m=0即2lnx 2 +x
10、2 1=0 设h（x）=2lnx+x1（x0） ， 恒成立， 故h（x）在（0，+）单调递增，h（x）=0至多有一解 又h（1）=0，x 2 =1，即 ，解得 6、 【答案】(1)函数的定义域为(0, ) ， 2 2 1 1 ln ln ( ) x x f x x x . 令 ( ) 0 f x ，得 1 x ；当 (0,1) x 时， ( ) 0 f x ， ( ) f x 单调递增； 当 (1, ) x 时， ( ) 0 f x ， ( ) f x 单调递减. 所以， 1 x 为极大值点， 所以 1 1 2 a a ，故 1 1 2 a ，即实数a的取值范围为 1 ( ,1) 2 . (2
11、)当 1 x 时， ( 1)(1 ln ) x x k x ，令 ( 1)(1 ln ) ( ) x x g x x ， 则 2 2 1 1 ln 1 ( 1)(1 ln ) ln ( ) x x x x x x x g x x x .再令 ( ) ln h x x x ， 则 1 ( ) 1 0 h x x ，所以 ( ) (1) 1 h x h ，所以 ( ) 0 g x ， 所以 ( ) g x 为单调增函数，所以 ( ) (1) 2 g x g ，故 2 k .答案第 2 页，总 3 页 7、 【答案】 （）当a=1时， ， 当x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递减， 当x（1，
12、+）时，f（x）0，f（x）单调递增， 所以，当x=1时，f（x）有最小值：f（x） min =f（1）=1 （）因为 ， 当a0时，f（x）0，f（x）在（0，e上为增函数，此时f（x）在（0 ，e上无最小值 当a（0，e时，若x（0，a） ，则f（x）0，f（x）单调递减， 若x（a，e，则f（x）0，f（x）单调递增， 所以f（x） min =f（a）=1+lna=2，a=e，符合题意； 当ae时，x（0，e，f（x）0，f（x）单调递减， 所以 ，a=e，不符合题意； 综上所述，a=e时符合题意 （）证明当a=1时，函数 ， ， 令（x）=2+xlnx， （x0） ，则 ， 所以x（0
13、，1）时，（x）0，（x）单调递减， 当x（1，+）时，（x）0，（x）单调递增， 所以，（x） min =（1）=30，在定义域内g（x）0，g（x）在（0，+ ）单调递增， 又g（1）=10，而 ， 因此，函数g（x）在（1，e）上必有零点，又g（x）在（0，+）单调递增 所以函数 在其定义域内有唯一的零点 8、 【答案】 （1）当a=1时，f（x）=e x +x1，f（1）=e，f（x）=e x +1，f （1）=e+1， 函数f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为ye=（e+1） （x1） ， 即y=（e+1）x1 设切线与x、y轴的交点分别为A，B 令x=0得y=1，令y=0得
14、x= ，A（ ，0） ，B（0，1） 在点（1，f（1） ）处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 （2）f（x）=e x +ax1，f（x）=e x +a 当a0时f， （x）0所以f（x）在R上单调递增 当a0时在（，ln（a） ）上单调递减 在（ln（a） ，+）上单调递增 （3）对于任意的x 1 （0，1） ，总存在x 2 0，1使得f（x 1 ）x 1 2 e x x 2 1恒成立 等价于 由（2）知y=e x x1在（，0）递减， （0，+）递增 所以e x x1 min =0 所以e x +ax1x 2 0 得a 恒成立， 令h（x）= = +x ， 则h（x）=1 = 令k（x）=x+1e x ，则k（x）=1e x ， x（0，1） ，k（x）=1e x 0， 则k（x）在x（0，1）上为减函数， k（x）k（0）=0， 又x10 h（x）= 0， h（x）在x（0，1）为增函数，h（x）h（1）=2e， 因此只需a2e 答案第 3 页，总 3 页
