初中数学教学应渗透的思想方法

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1、初中数学教学应渗透的思想方法 所谓数学思想，是指人 们对数学理论与内容的本质认识 ，它直接支配着数学 的实践活动。所谓数学方法， 是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有 过程性、 层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学 思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们合称为数学思想方法。 数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能， 还要求发 展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯。在实现教学目的的过程中， 数学思想方法对于打好“双基” 和加深对知识的理解、培养学生的思 维能力有着独 到的优势，它是学生形成良好 认知结构的纽带，是由知识转

2、 化为能力的桥梁。因此， 在数学教学中，教师除了基 础知识和基本技能的教学外， 还应重视数学思想方法的 渗透。我认为初中数学教学中 应渗透以下数学思想方法: 1、分类讨论思想 分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类，即根据教学对象 的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。 分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过 的知识恰当地进行分类，就可 以使大量纷繁的知识具有条理性。例如，教材中给实数的定 义是“有理数与无理数 统称为实数” ， 这个定义揭示了 实数的内涵与外延，这本身就体现出分类思想方法。因此，在学完 实数的概念后， 可以如此分类： 尔后

3、一提到实数，就会想到它可能是有理数，也可能是无理数；一提到有理数， 就会想到它可能是整数，也可能是分数等。 又如，实数的绝对值定义也是采用分类法给出的，在这个定义中选择 a = 0 作 为分类的标准。在每一 类中，其 结果都不包含绝对值符号。因此定 义也给出了脱去 绝对值符号的一种方法。 再如，在同一个圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 为了验 证这个猜想，教学时常将圆对 折，使折痕经过圆心和圆周角的 顶点， 这时可能出现 三种情况：折痕是圆周角的一条边，折痕在圆周角的内部，折痕在圆周角的 外部。验证时，要分三种情形来 说明，这里实际上也体 现了分类讨论的思想方法。 还有，对三角

4、形全等识别方法的探索，教材中的思考题：如果两个三角形有三 个部分（边或角）分别对应相等，那么有哪几种可能的情况？同时，教材中对处理几 种识别方法时也采用分类讨论 ，由简到繁，一步步得出，教学 时要让学生体验这种 思想方法。 2、数形结合思想一般地，人们把代数称为“ 数” 而把几何称为“形” ，数与形表面看是相互独立， 其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也 可以转化为数量问题。初一教材引入数轴，就 为数形结合的思想奠定了基础。有理数的大小比 较、相 反数的几何意义、 绝对值的几何意义、列方程解应用题中的画图分析等，充分 显示 出数与形结合起来产生的威力， 这种

5、抽象与形象的结合，能使学生的思 维得到锻炼。 数形结合在各年级中都得到充分的利用。例如，点与圆的位置关系，可以通 过 比较点到圆心的距离与圆半径两者的大小来确定，直线 与圆的位置关系，可以通 过 比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小来确定，圆 与圆的位置关系，可以通 过 比较两圆圆心的距离与两圆半径之和或之差的大小来确定。又如，勾股定理结论的 论证、函数的图象与函数的性 质、利用图象求二元一次方程 组的近似解、用三角函 数解直角三角形等等都是典型的数形结合的体现。再如，有理数的加法法则、乘法 法则，不等式组的解集的确定都是利用数轴或其它实图归纳总结 出来的；实践与探 索中行程问题教学， 经常

6、是利用线段图解的方法来引导 学生分析题中的数量关系。 在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使 问题直观呈 现的优点，有利于加深学生 对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有 利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思 维，拓宽思路，迅 速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题 的能力。抓住数形 结合思想 教学，不仅能够提高学生数形 转化能力，还可以提高学生迁移思 维能力。 3、整体思想 整体思想在初中教材中体现 突出，如在实数运算中,常把数字与前面的“ ，” 符号看成一个整体进行处理；又如用字母表示数就充分体现了整体思想,即一个字 母不仅代表

7、一个数,而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等；再如整式 运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理，如：（a+b+c) 2 = （a+b ）+ c 2 视 (a+b)为 一个整体展开等等， 这些对培养学生良好的思维品质,提高解题效率是一个 极好的机会。 4、化归思想 化归思想是数学思想方法体系主梁之一。在实数的运算、解方程（组）、多 边形 的内角和、几何证明等等的教学中都有让学生对化归思想方法的 认识,学生有意无 意接受到了化归思想。如已知（x+y） 2 =11 , xy=1 求 x 2+ y 2的值,显然直接代入无法 求解,若先把所求的式子化归到有已知形式的式子(x+y) 2 -2

8、xy，则易得: 原式=9；又 如 “多 边形的内角和” 问题通过分解多边形为三角形来解决,这都是化归思想在实际问题中的具体体现。再如解方程（组）通过“ 消元” 、 “ 降次” 最后求出方程（组）的解 等也体现了化归思想。 化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。化 归的手段是多种多样的,其 最终目的是将未知的问题转化 为已知问题来解。实现新 问题向旧问题的转化、复杂 问题向简单问题转化、未知 问题 向已知问题转化、抽象问题 向具体问题转化等。如 在加法的基础上，利用相反数的概念，化归出减法法则，使加、减法 统一起来，得到 了代数和的概念；在乘法的基础上，利用倒数的概念，化归出除法法则，使互逆

9、的 两种运算得到统一。又如， 对等腰梯形有关性质的探索，除了教材中利用 轴对称方 法外，还经 常通过作一腰的平行线、作底边上的高、延 长两腰相交于一点等方法， 把等腰梯形转化到平行四边形和三解形的知识上来。除此之外，很多知识之 间都存在着相互渗透和转化：多元转化为一元、高次 转化 为低次、分式转化为整式、一般三解形 转化为特殊三角形、多 边形转化为三角形、 几何问题代数解法、恒等的 问题用不等式的知识解答 5、变换思想 变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。解方程中的同解 变换，定 律、公式中的命题等价变换 ，几何图形中的等积变换等等都包含了变换思想。具有 优秀思维品质的一个重要特征,就

10、是善于变换，从正反、互逆等进行变换考虑问题, 但很多学生又恰恰常忽略从这 方面考虑问题，因此变换 思想是学生学好数学的一 个重要武器。 例 四边形 ABCD 中, AB = CD, BC = DA, E、F 是 AC 上的两点, 且 AE = CF. 求证: DE=BF. 这道题若是由已知向后推理较难把握方向，但用变换方法寻找证法比较易： 要证 DE = BF ，只要证ADECBF（证ABFECDE 也可）；要证ADE CBF，因 题目已知 BC = DA ，AE = CF ，只要 证DAE=BCF；要证DAE=BCF，可 由ABC CDA 得到，而由已知条件 AB = CD, BC = DA

11、, AE = CF 不难得到 ABCCDA。这样问题就解决了。 6、方程思想 方程思想的实质就是数学建模,解应用题是方程思想应用的最突出体现。 例 某工人每天早晨在同一时刻从家里骑车去工厂上班，如果以每小 时 16 千 米的速度行驶， 则可在上班 时刻前 15 分钟到达工厂；如果以每小时 9。6 千米的速 度行驶， 则在工厂上班时刻后 15 分钟到达工厂。 求这位工人的家到工厂的路程； 这位工人每天早晨在工厂上班时刻前多少小时从家里出发？这道题若通过构建方程求解, 能很易求出答案。 略解: 设这 位工人的家到工厂的路程 为 x，则可得，解得 x =12（千米/小时）；这位工人每天早晨在工厂上班

12、时刻前 1 小时从家里出发。 又如 甲乙两人同时从 A 地出发，步行 15 千米到 B 地，乙比甲每小时少走 1 千米，结 果比甲迟到半小时 ，求甲、乙两人的速度。 这道题若通过构建方程求解, 也不难求出答案。 略解：设甲每小时走 x 千米，则乙每小时走（x1）千米，依 题意得解得 x 1= 6 , x 2 = 5 经检验 x = 6 , x 2 = 5 都是原方程的根，但 x 2 = 5 不合题意，舍去； 由 x = 6 得 x1=5 ；于是甲每小时走 6 千米，乙每小时走 5 千米。 7、比较思想所谓比较，就是指在思维中对两种或两种以上的同类研究对象的 异同进行辨别。比较是一切理解和思维的

13、基础，随着学习的不断深入，学生要掌握 越来越多的知识，这就要求学生要善于比较知识之间的区别和联系。例如，在因式分解的教学中，通 过复习整式乘法， 让学生比较这两种运算的异 同，明确因式分解与整式乘法是恒等变形，又是互逆运算。如（a+b)(a-b) = a 2 b 2 是整式乘法，a 2 b 2= （a+b)(a-b) 是因式分解。在不等式的解法教学 时，可以对比 一元一次方程解法：去分母、去括号、移项、合并同 类项、化系数为 1 这些步骤是一 样的。当然，要特别比较化系数为 1 时两者的不同之处。又如，全等三角形是相似 三角形在相似比为 1 时的特例，两个三角形相似和全等有它特定的内在 联系，因此， 全等三角形的识别方法可以类比相似三角形的识别方法。再如，轴对称图形、旋 转 对称图形、中心对称图形是意 义不尽相同的概念，通过类 比可以发现它们之间的异 同，从而加深对这几个概念的本质属性的认识。 类比要点如下图： 8、统计思想 初中数学教材中,专辟了介绍统计初步知识的内容（旧课标放在初三代数部分 的最后一章，新课标分散于各个年级）,就是要求学生从中提炼并掌握一些处理数据 的方法,并用来解决一些实际问题 。 从初中阶段就重视数学思想方法的渗透，将为学生后 续学习打下坚实的基础， 会使学生终生受益。