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1、1 文件 sxcbk0063.doc 科目 数学 关键词 因式分解/教学结构/解题点要 标题 因式分解 内容 因式分解 【教学结构】 本章的知识结构如下:本章讲述了几个概念,其一是因式分解的概念;其二是公因式的概念;其三掌握分组 分解法的概念. 提取公因式法是因式分解的最基本最常用的方法.由单项式和以多项式的分配律,即 m(a+b+c)=ma+mb+mc反过来,就有ma+mb+mc=m(a+b+c),这就是提公因式法分解因式.它的 难点是提取公因式的正确运用,突破的关键要注意下列几点: 确定公因式:公因式的系数是各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母, 而且各字母的指数取次数最低的.要注
2、意透过现象看本质,如确定8(x-y) 3 x 2 +6x(y-x) 2 的 公因式时,注意y-x=-(x-y),(y-x) 2 =-(x-y) 2 =(x-y) 2 所以公因式是2x(x-y) 2 提公因式:若首项系数为负的,一般要提出“”号,使括号内第一项系数是正的,须 注意符号.不要漏项,特别是当多项式中某一项全部被提出后,剩下的多项式因式应在相 应位上补1. 如am+bm+m=m(a+b+1)而不是m(a+b) 因为多项式的因式分解与整式乘法正好相反,所以把整式乘法公式反过来写,就得到多项 式因式分解的公式. a 2 -b 2 =(a+b)(a-b); a 3 +b 3 =(a+b)(a
3、 2 -ab+b 2 ); a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ); a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ; a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 . 应用公式分解因式时,应注意: 如果多项式中各项含有公因式,应先提出公因式,再考虑运用公式. 公式中的字母,可以表示一个数,一个单项式或者一个多项式. 要认识到恰当地逆用公式,会给一些问题的运算和证明带来很大的方便. 【解题点要】 例1:将下列各式进行因式分解 (1)6m-12mn-3mn 2 (2)12x 2 y 3 -4x 3 y 8 +36x 4 y 2因式分解概念提公因式 法公 式 法分 组 分解法十字相
4、乘法2 (3)-5a 2 b 3 +20ab 2 -5ab (4)11m 2 n 2 p 3 -121mnp 3 +33mp 6 点评:(1)中的公因式中只有一个字母m,(2)中有两个字母,需仔细辩认公因式,字母x 的最低次数为2,y的最低次数也为2,故公因式为4x 2 y 2 .(3)中最后一项为公因式,括号 中最后一项为+1,不可漏掉.在提取数字最大公约数,注意提负号时,各项要变号.(4)中的 公因式中只有两个字母,m,p不可将n写上,另外,用最后一项33mp 6 除以公因式11mp 3 时, p 6 p 3 =p 3 p 2 ,这是应注意的. 解:(1)6m-12mn-3mn 2 =3m
5、(2-4n-n 2 )(2)12x 2 y 3 -4x 3 y 8 +36x 4 y 2 =4x 2 y 2 (3y-xy 6 +9x 2 )(3)-5a 2 b 3 +20ab 2 -5ab=-5ab(ab 2 -4b+1) 11m 2 n 2 p 3 -121mnp 3 +33mp 6 =11mp 3 (mn 2 -11n+3p 3 ) 例2:将下列各式进行因式分解 abc(a 2 +b 2 +c 2 )-a 3 bc+ab 3 c=abc(a 2 +b 2 +c 2 -a 2 +b 2 )=abc(2b 2 +c 2 ) m(a+c-d)-n(d-a-c)+t(a-d+c)=m(a+c-
6、d)+n(a+c-d)+t(a+c-d)=(a+c-d)(m+n+t) 点评:(1)中要注意的是提取公因式后,括号的各项中依然有同类项,应合并,因此要养成 一个习惯,提取公因式后,要检查是否还能化简.(2)中的公因式不明显,要根据各项括号 中字母及符号特点,注意到:各括号中都含有a、b、c三个字母,所不同的是符号不同, 但也有共性,即a与c为同号,d与a、c异号,抓住这个特点后,适当提出某些括号中的 负号,就会变成公因式的标准形式. 例3:将下列各式进行因式分解 (1)a 2 -4a+4 (2)4a 2 -12a+9 (3)144-24x+x 2 (4)x 3 -x 2 + x 4 1 (5)
7、m 4 -4m 2 n 2 +4n 4 (6)(m-2n) 2 -2(m-2n)+1 (7)4(a-b) 2 -(a-b)+ 16 1 (8)(x-2y) 3 +8(2y-x) 2 +16(x-2y) 解:(1)a 2 -4a+4=(a-2) 2(2)4a 2 -12a+9=(2a-3) 2(3)144-24x+x 2 =(12-x) 2(4)x 4 -x 2 + x=x(x 2 -x+ )=x(x- ) 2 4 1 4 1 2 1(5)m 4 -4m 2 n 2 +4n 4 =(m 2 -2n 2 ) 2(6)(m-2n) 2 -2(m-2n)+1=(m-2n)-1 2 =(m-2n-1)
8、2(7)4(a-b) 2 -(a-b)+ =2(a-b)- 2 =(2a-2b- ) 2 16 1 4 1 4 1(8)(x-2y) 3 +8(2y-x) 2 +16(x-2y)=(x-2y)(x-2y)+4 2 =(x-2y)(x-2y+4) 2 点评:此例应用完全平方公式进行因式分解,这类题型的特点是,原多项式有三项,其中3 有两项各为某一多项式或单项式的平方,第三项为这两个多项式或单项式的积的二倍,在 观察题目时,先找出两个平方项,即完全平方公式中的a 2 和b 2 ,再判断中间项是否为2ab 的形式.(1)是从a 2 与4=2 2 入手,(2)从4a=(2a) 2 ,9=3 2 入手,
9、(3)144=12 2 ,(4)有立方,故 进一步观察有公因式x,然后x 2 与 =( ) 2 ,(5)中m 4 =(m 2 ) 2 ,4n 4 =(2n 2 ) 2 .(6)将(m-2n)看 4 1 2 1 成一个整体后,应用完全平方公式.(7)将(a-b)看成一个整体,而4(a-b) 2 =2(a-b) 2 , =( ) 2 .(8)从第一项(x-2y) 3 为立方项入手,从而发现各项中有公因式(x-2y),提取 16 1 4 1 公因式后,用完全平方公式. 十字相乘法能把某些二次三项式ax 2 +bx+c分解因式.这种方法的关键是把二次项的系数a 分解成两个因数a 1 ,a 2 的积a
10、1 a 2 ,把常数项c分解成两个因数c 1 ,c 2 的积c 1 c 2 ,使 a 1 c 2 +a 2 c 2 正好等于一次项系数b,那么可以直接写出结果ax 2 +bx+c=(a 1 x+c 2 )(a 2 x+c 2 ).在运 用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程. 分组分解法适用于不能直接使用提公因式法、公式法和十字相乘法的多项式.为此我们有目 的地将多项式的某些项组成一组,从局部考虑.使每组能够分解,从而达到整个多项式因式 分解的目的.分组时要有预见性,要统筹思考,减少盲目性,分组的好坏会直接影响到因式 分解能否顺利进行,要掌握分组分解法的分组原
11、则,合理选择分组方法. 例4:将下列各式进行因式分解 (1)ax 3 +ax 2 y-2bx 3 -2bx 2 y (2)15x 2 -15x-2xy+2y (3)a 3 +a 2 b+a 2 c+abc (4)x 2 -4xy+4y 2 -2x+4y+1 (5)a 2 c-abc+ac 2 -bc 2 5a 2 x+6abx-10a 2 y-12aby 解:(1)ax 3 +ax 2 y-2bx 3 -2bx 2 y=(ax 3 +ax 2 y)-(2bx 3 +2bx 2 y)=ax 2 (x+y)-2bx 2 (x+y)=x 2 (x+y)(a-2b) (2)15x 2 -15x-2xy
12、+2y=(15x 2 -15x)-(2xy-2y)=15x(x-1)-2y(x-1)=(x-1)(15x-2y) (3)a 3 +a 2 b+a 2 c+abc=(a 3 +a 2 b)+(a 2 c+abc)=a 2 (a+b)+ac(a+b)=a(a+b)(a+c) (4)x 2 -4xy+4y 2 -2x+4y+1=(x 2 -4xy+4y 2 )-(2x-4y)+1=(x-2y) 2 -2(x-2y)+1=(x-2y-1) 2 (5)a 2 c-abc+ac 2 -bc 2=(a 2 c+ac 2 )-(abc+bc 2 )=ac(a+c)-bc(a+c)=c(a+c)(a-b) 5a
13、 2 x+6abx-10a 2 y-12aby=(5a 2 x-10a 2 y)+(6abx-12aby)=5a 2 (x-2y)+6ab(x-2y)=a(x-2y)(5a+6b) 点评:此例进一步说明适当分组的方法:(1)观察要细,以一个多项式的各项要从系数字母,4 指数这几方面抓住特点,根据分组的原则,以字母为标准,或以系数为标准,以达到分组 后继续分解,(2)掌握规律,对一个多项式中有两个以上的平方项,考虑用完全平方公式, 然后再用平方差公式,这类题型较多,如果一个多项式的各项中,没有平方项,那么看是 否有公因式,或分组后能否有公因式,(1)中各项的特点较为明显,以含a为一类,含b为 一
14、类分组,或者以x 3 为一类,x 2 为一类分组都可以,(2)中系数特点较明显,以系数|15| 为一类,系数|2|为一类,或者以不含y的项,含y的项各为一类也可以,(3)以含c与不 含c的项各为一组,或可能先提出公因式a,(4)的分类较为特殊,有两个平方项,前三项 可用完全平方公式,而后三项不能为一组,但前三项为(x-2y) 2 ,而后两项提出-2后,也 有(x-2y),最后1=1 2 ,将(x-2y)看作一个整体a,即为a 2 -2a+1=(a-1) 2 ,因此有两个同号 的平方项,再有中间项,就先考虑将它们分成一组,也可以含c与含c 2 的项为标准各为一 组,(6)中可按两种系数成比例的标
15、准,即 或 ,也可有两种分组方法. 12 10 6 5 12 6 10 5 例5:将下列各式分解因式 (1)x 2 -6x-7 (2)x 2 +6x-7 (3)x 2 -8x+7 (4)x 2 +8x+7 (5)x 2 -5x+6 (6)x 2 -5x-6 (7)x 2 +5x-6 (8)x 2 +5x+6解:(1)x 2 -6x-7=(x-7)(x+1)(2)x 2 +6x-7=(x+7)(x-1)(3)x 2 -8x+7=(x-7)(x-1)(4)x 2 +8x+7=(x+7)(x+1)(5)x 2 -5x+6=(x-2)(x-3)(6)x 2 -5x-6=(x-6)(x+1)(7)x 2
16、 +5x-6=(x+6)(x-1) x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) 点评:此例中的题是易错的典型题,初学时难于避免,主要原因是对十字相乘的原则没有 充分认识,即,两常数项的乘积是原多项式的常数项,它们的和是原一次项系数,因此单 纯的凑数是不行的,一定注意分解后与原多项式相等. 解题点要:如上述例1例5 课余思考: 用提取公因式法分解下列因式 (1)(a-b) 2n -(b-a) 2n+1(n为自然数) (2)(x+y-z)(x-y+z)+(y-x+z)(y-x-z) 将下列各式进行因式分解 (1)(x+y+z) 3 -x 3 -y 3 -z 3 (2)a 4 -7a 2 +1 (3)abx 2 -a 2 +b 2 x+ab 9(x-y) 2 +12(x-y)(x+y)+4(y+x) 2 【同步练习】