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1、1 文件 sxcbk0063.doc 科目 数学 关键词 因式分解/教学结构/解题点要 标题 因式分解 内容 因式分解 【教学结构】 本章的知识结构如下：本章讲述了几个概念，其一是因式分解的概念；其二是公因式的概念；其三掌握分组 分解法的概念. 提取公因式法是因式分解的最基本最常用的方法.由单项式和以多项式的分配律，即 m(a+b+c)=ma+mb+mc反过来，就有ma+mb+mc=m(a+b+c)，这就是提公因式法分解因式.它的 难点是提取公因式的正确运用，突破的关键要注意下列几点： 确定公因式：公因式的系数是各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母， 而且各字母的指数取次数最低的.要注
2、意透过现象看本质，如确定8(x-y) 3 x 2 +6x(y-x) 2 的 公因式时，注意y-x=-(x-y)，(y-x) 2 =-(x-y) 2 =(x-y) 2 所以公因式是2x(x-y) 2 提公因式：若首项系数为负的，一般要提出“”号，使括号内第一项系数是正的，须 注意符号.不要漏项，特别是当多项式中某一项全部被提出后，剩下的多项式因式应在相 应位上补1. 如am+bm+m=m(a+b+1)而不是m(a+b) 因为多项式的因式分解与整式乘法正好相反，所以把整式乘法公式反过来写，就得到多项 式因式分解的公式. a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)； a 3 +b 3 =(a+b)(a
3、 2 -ab+b 2 )； a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 )； a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ； a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 . 应用公式分解因式时，应注意： 如果多项式中各项含有公因式，应先提出公因式，再考虑运用公式. 公式中的字母，可以表示一个数，一个单项式或者一个多项式. 要认识到恰当地逆用公式，会给一些问题的运算和证明带来很大的方便. 【解题点要】 例1：将下列各式进行因式分解 (1)6m-12mn-3mn 2 (2)12x 2 y 3 -4x 3 y 8 +36x 4 y 2因式分解概念提公因式 法公 式 法分 组 分解法十字相
4、乘法2 (3)-5a 2 b 3 +20ab 2 -5ab (4)11m 2 n 2 p 3 -121mnp 3 +33mp 6 点评：(1)中的公因式中只有一个字母m，(2)中有两个字母，需仔细辩认公因式，字母x 的最低次数为2，y的最低次数也为2，故公因式为4x 2 y 2 .(3)中最后一项为公因式，括号 中最后一项为+1，不可漏掉.在提取数字最大公约数，注意提负号时，各项要变号.(4)中的 公因式中只有两个字母，m,p不可将n写上，另外，用最后一项33mp 6 除以公因式11mp 3 时， p 6 p 3 =p 3 p 2 ，这是应注意的. 解：(1)6m-12mn-3mn 2 =3m
5、(2-4n-n 2 )(2)12x 2 y 3 -4x 3 y 8 +36x 4 y 2 =4x 2 y 2 (3y-xy 6 +9x 2 )(3)-5a 2 b 3 +20ab 2 -5ab=-5ab(ab 2 -4b+1) 11m 2 n 2 p 3 -121mnp 3 +33mp 6 =11mp 3 (mn 2 -11n+3p 3 ) 例2：将下列各式进行因式分解 abc(a 2 +b 2 +c 2 )-a 3 bc+ab 3 c=abc(a 2 +b 2 +c 2 -a 2 +b 2 )=abc(2b 2 +c 2 ) m(a+c-d)-n(d-a-c)+t(a-d+c)=m(a+c-
6、d)+n(a+c-d)+t(a+c-d)=(a+c-d)(m+n+t) 点评：(1)中要注意的是提取公因式后，括号的各项中依然有同类项，应合并，因此要养成 一个习惯，提取公因式后，要检查是否还能化简.(2)中的公因式不明显，要根据各项括号 中字母及符号特点，注意到：各括号中都含有a、b、c三个字母，所不同的是符号不同， 但也有共性，即a与c为同号，d与a、c异号，抓住这个特点后，适当提出某些括号中的 负号，就会变成公因式的标准形式. 例3：将下列各式进行因式分解 (1)a 2 -4a+4 (2)4a 2 -12a+9 (3)144-24x+x 2 (4)x 3 -x 2 + x 4 1 (5)
7、m 4 -4m 2 n 2 +4n 4 (6)(m-2n) 2 -2(m-2n)+1 (7)4(a-b) 2 -(a-b)+ 16 1 (8)(x-2y) 3 +8(2y-x) 2 +16(x-2y) 解：(1)a 2 -4a+4=(a-2) 2(2)4a 2 -12a+9=(2a-3) 2(3)144-24x+x 2 =(12-x) 2(4)x 4 -x 2 + x=x(x 2 -x+ )=x(x- ) 2 4 1 4 1 2 1(5)m 4 -4m 2 n 2 +4n 4 =(m 2 -2n 2 ) 2(6)(m-2n) 2 -2(m-2n)+1=(m-2n)-1 2 =(m-2n-1)
8、2(7)4(a-b) 2 -(a-b)+ =2(a-b)- 2 =(2a-2b- ) 2 16 1 4 1 4 1(8)(x-2y) 3 +8(2y-x) 2 +16(x-2y)=(x-2y)(x-2y)+4 2 =(x-2y)(x-2y+4) 2 点评：此例应用完全平方公式进行因式分解，这类题型的特点是，原多项式有三项，其中3 有两项各为某一多项式或单项式的平方，第三项为这两个多项式或单项式的积的二倍，在 观察题目时，先找出两个平方项，即完全平方公式中的a 2 和b 2 ，再判断中间项是否为2ab 的形式.(1)是从a 2 与4=2 2 入手，(2)从4a=(2a) 2 ，9=3 2 入手，
9、(3)144=12 2 ，(4)有立方，故 进一步观察有公因式x，然后x 2 与 =( ) 2 ，(5)中m 4 =(m 2 ) 2 ，4n 4 =(2n 2 ) 2 .(6)将(m-2n)看 4 1 2 1 成一个整体后，应用完全平方公式.(7)将(a-b)看成一个整体，而4(a-b) 2 =2(a-b) 2 ， =( ) 2 .(8)从第一项(x-2y) 3 为立方项入手，从而发现各项中有公因式(x-2y)，提取 16 1 4 1 公因式后，用完全平方公式. 十字相乘法能把某些二次三项式ax 2 +bx+c分解因式.这种方法的关键是把二次项的系数a 分解成两个因数a 1 ，a 2 的积a
10、1 a 2 ，把常数项c分解成两个因数c 1 ,c 2 的积c 1 c 2 ，使 a 1 c 2 +a 2 c 2 正好等于一次项系数b，那么可以直接写出结果ax 2 +bx+c=(a 1 x+c 2 )(a 2 x+c 2 ).在运 用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程. 分组分解法适用于不能直接使用提公因式法、公式法和十字相乘法的多项式.为此我们有目 的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑.使每组能够分解，从而达到整个多项式因式 分解的目的.分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏会直接影响到因式 分解能否顺利进行，要掌握分组分解法的分组原
11、则，合理选择分组方法. 例4：将下列各式进行因式分解 (1)ax 3 +ax 2 y-2bx 3 -2bx 2 y (2)15x 2 -15x-2xy+2y (3)a 3 +a 2 b+a 2 c+abc (4)x 2 -4xy+4y 2 -2x+4y+1 (5)a 2 c-abc+ac 2 -bc 2 5a 2 x+6abx-10a 2 y-12aby 解：(1)ax 3 +ax 2 y-2bx 3 -2bx 2 y=(ax 3 +ax 2 y)-(2bx 3 +2bx 2 y)=ax 2 (x+y)-2bx 2 (x+y)=x 2 (x+y)(a-2b) (2)15x 2 -15x-2xy
12、+2y=(15x 2 -15x)-(2xy-2y)=15x(x-1)-2y(x-1)=(x-1)(15x-2y) (3)a 3 +a 2 b+a 2 c+abc=(a 3 +a 2 b)+(a 2 c+abc)=a 2 (a+b)+ac(a+b)=a(a+b)(a+c) (4)x 2 -4xy+4y 2 -2x+4y+1=(x 2 -4xy+4y 2 )-(2x-4y)+1=(x-2y) 2 -2(x-2y)+1=(x-2y-1) 2 (5)a 2 c-abc+ac 2 -bc 2=(a 2 c+ac 2 )-(abc+bc 2 )=ac(a+c)-bc(a+c)=c(a+c)(a-b) 5a
13、 2 x+6abx-10a 2 y-12aby=(5a 2 x-10a 2 y)+(6abx-12aby)=5a 2 (x-2y)+6ab(x-2y)=a(x-2y)(5a+6b) 点评：此例进一步说明适当分组的方法：(1)观察要细，以一个多项式的各项要从系数字母，4 指数这几方面抓住特点，根据分组的原则，以字母为标准，或以系数为标准，以达到分组 后继续分解，(2)掌握规律，对一个多项式中有两个以上的平方项，考虑用完全平方公式， 然后再用平方差公式，这类题型较多，如果一个多项式的各项中，没有平方项，那么看是 否有公因式，或分组后能否有公因式，(1)中各项的特点较为明显，以含a为一类，含b为 一
14、类分组，或者以x 3 为一类，x 2 为一类分组都可以，(2)中系数特点较明显，以系数|15| 为一类，系数|2|为一类，或者以不含y的项，含y的项各为一类也可以，(3)以含c与不 含c的项各为一组，或可能先提出公因式a，(4)的分类较为特殊，有两个平方项，前三项 可用完全平方公式，而后三项不能为一组，但前三项为(x-2y) 2 ，而后两项提出-2后，也 有(x-2y)，最后1=1 2 ，将(x-2y)看作一个整体a，即为a 2 -2a+1=(a-1) 2 ，因此有两个同号 的平方项，再有中间项，就先考虑将它们分成一组，也可以含c与含c 2 的项为标准各为一 组，(6)中可按两种系数成比例的标
15、准，即 或 ，也可有两种分组方法. 12 10 6 5 12 6 10 5 例5：将下列各式分解因式 (1)x 2 -6x-7 (2)x 2 +6x-7 (3)x 2 -8x+7 (4)x 2 +8x+7 (5)x 2 -5x+6 (6)x 2 -5x-6 (7)x 2 +5x-6 (8)x 2 +5x+6解：(1)x 2 -6x-7=(x-7)(x+1)(2)x 2 +6x-7=(x+7)(x-1)(3)x 2 -8x+7=(x-7)(x-1)(4)x 2 +8x+7=(x+7)(x+1)(5)x 2 -5x+6=(x-2)(x-3)(6)x 2 -5x-6=(x-6)(x+1)(7)x 2
16、 +5x-6=(x+6)(x-1) x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) 点评：此例中的题是易错的典型题，初学时难于避免，主要原因是对十字相乘的原则没有 充分认识，即，两常数项的乘积是原多项式的常数项，它们的和是原一次项系数，因此单 纯的凑数是不行的，一定注意分解后与原多项式相等. 解题点要：如上述例1例5 课余思考： 用提取公因式法分解下列因式 (1)(a-b) 2n -(b-a) 2n+1(n为自然数) (2)(x+y-z)(x-y+z)+(y-x+z)(y-x-z) 将下列各式进行因式分解 (1)(x+y+z) 3 -x 3 -y 3 -z 3 (2)a 4 -7a 2 +1 (3)abx 2 -a 2 +b 2 x+ab 9(x-y) 2 +12(x-y)(x+y)+4(y+x) 2 【同步练习】
