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1、关于高中数学函数单调性解题方法探讨 摘要：函数的单调性既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要性质，在 整个高中数学函数的学习中，起着承上启下的作用。在各种考试的考题中也占 有非常多的比例，依据函数单调性延伸出的综合复杂的题目也很多，所以更好 的理解函数单调性的概念，及掌握其各种数学题目的分析解决方法，尤为重要。 本文将针对运用函数单调性定义、导数法、复合函数、函数图像等方法，解决 函数单调性问题。 关键字： 数学函数 函数单调性 解题方法 1、引言 函数单调性是一个非常重要的数学概念，在函数的学习中，函数的单调性 是我们接触的第一个函数的性质，总结了以往我们初中高中所学的数学知识， 而它对
2、于以后学习不等式等许多方面，都需要用到函数单调性的相关知识，所 以如何更好的掌握函数单调性解题，在我们的数学学习中，是非常重要的一个 环节。 2、函数单调性解题方法概况 2.1函数单调性定义法函数单调性的定义： 一般地设函数y= f(x)的定义域为A如果对于定义 域A内的某个区间I内的任意两个自变量x1，x2，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)那么就说y= f(x)在区间I上是增函数，I称为y=f(x)的单调增区间。 那么通过单调增区间，我们很容易就能推出单调减区间的定义：一般地设 函数y= f(x)的定义域为A如果对于定义域A内的某个区间I内的任意两个自 变量x1，x2，当x1x2时
3、，都有f(x1) f(x2)那么就说y= f(x)在区间I上 是减函数，I称为y=f(x)的单减增区间。 如何函数y= f(x)在区间 I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y= f(x)在区间I上具有单调性。 而很多的试题，完全可以用定义，简单的运算就可以得到结果， 例：求函数f(x)= 在区间(0,+ )上的单调性。 + 2 函数的解析式和区间都已给出，只需要利用函数单调性的电影判断即可，设 ,那么f( -f( = - = 0 1 2 (0, + ) 1 ) 2 ) 1 1 + 2 2 2 + 2 2( 1 2 ) ( 1 + 2)( 2 + 2) 因为 ,所以f( -f( 0，所以
4、函数f(x)在区间(0,+ ) 1 2 (0, + ) 1 ) 2 ) 上，是单调递增函数。 2.2函数图像法 在解题的过程中，利用函数图想法也是非常常见的方法之一。根据图像能 够更直观的看到函数的区间内的增减单调性，而数形结合的方式，能够更快捷 的进行解题。而在单调区间内，函数如果是单增函数，那么随着x的增大，那 么它的图像呈上升状态，有明显的上升趋势，在单调区间内，如果函数是减函 数，那么它的图像就会相反，为下降状态，呈下降的趋势。所以掌握集中常见 函数图像的，也很有必要。而利用函数图像解题过程中，函数的奇偶性也是解 题的关键，其中奇函数在原点对称的区间上，单调性是相同，单调递增或单调 递
5、减，而偶函数在原点的对称性上的单调性是相反，从图像上可以清晰的判断 出来。 例如f(x)= 就是偶函数，而函数f(x)= 就是奇函数，简单的勾 2 + 2 3 + 2 画出图像，就可以轻易的判断出来函数的单调性。 2.3复合函数分析法 复合函数的定义是函数y=f(g(x)是由函数y=f(t)和函数t=g(x)组合而成， 其中t=g(x)为内层函数，y=f(t)为外层函数。而复合函数单调性又该如何判断 呢，首先，如果内外函数的单调性不一致，即一个是单调增函数，一个是单调 减函数，则复合函数的单调性是递减函数，有一种负正得负的异曲同工的感觉， 相反，如果内外层函数的单调性是相同的，同为增函数或同为
6、减函数，那么复 合函数的单调性是递增函数，负负得正，正正为正的乘法法则。 例如，判断函数f(x)= 的单调性，利用复合函数的定义，区分出这个 7 2 + 1 函数的外层函数为f(y)= ,而内层函数为y= +1，开始逐一判断内外层的单调 7 2 性，由内而外的判断，首先内层函数y= +1，在x (- ,0)时，函数为递减函 2 数，在x (0, )时，函数为递增函数，而外层函数，在f(y)= ，从单一函 + 7 数单调性来说，y (- )时，为递增函数，按照之前总结得出，一增一减 , + 为减，同增同减原则，当x (- ,0)时，函数f(x)= 单调性递减函数，当 7 2 + 1x (0, )
7、时，函数f(x)= 为单调递增函数。所以复合法是一种非常清晰 + 7 2 + 1 明确的解题方法，从而减少了解题步骤。 2.4导数法 导数法是解决分式函数，高次函数的单调性问题，很有效的解题办法，导 数法实际上是以求导函数为基础的，从而发展成为一种比较简单的求解方法， 而求导更是解析函数单调性的提前必要条件，所以应用好导数法，也能为我们 的解题提供非常好的方法。 例如，设函数f(x)= -ax, a0，试确定，当a取什么值时，函数 2 + 2 f(x)在(0, )上为单调函数。 + 解：任取 ， 0, )且 ，则f( -f( = a( 1 2 + 1 2 1 ) 2 ) 1 2 + 2 2 2
8、 + 2 - )=( - )( a),所以当a 因为 1 2 1 2 1 + 2 1 2 + 2 + 2 2 + 2 1 时 ， 1，又 - 0，所以f( -f( 0，即f( f( ，所 1 + 2 1 2 + 2 + 2 2 + 2 1 2 1 ) 2 ) 1 ) 2 ) 以，当a ，函数f(x)在区间0, )上是递减函数，当0a1时，在区间 1 时 + 0, )上存在 f( = f( ，所以当0a1时，函数f(x)在0, + 1 = 0 ， 满 足 1 ) 2 ) )不是单调函数。 + 3、结束语 总之，函数单调性的学习是整个函数学习中最基础的知识，只有基础打牢， 才能更好的应用到后续的函
9、数学习中，所以牢牢地掌握函数单调性解题思路和 分析问题的办法，非常的重要。而各种考题中最长出现类型的有以下几种，判 断函数的单调性，求函数的单调区间、在一定区间内求函数的最值、极值等。 所以一定要通过分析总结，掌握适合自己有效的解题方法，才能更快更准确的 取得问题的答案。而函数单调性定义法，函数图像法，复合函数法、导数法是 最常用的解题方法，综合运用，合理搭配，选择合适的解题思路，可以简化解 题过程，能够更快更准确的取得答案。高考的题目看似每年都不一样，非常的 灵活，其实只是将一些简单的问题进行组合，所以学习就是要把简单的知识点 掌握好，抽丝剥茧的把复杂的问题简单化，如果较复杂的函数就不建议用定义 法，相对比较繁琐，而复合函数，就建议用复合法来解决。在经过函数单调性解题的学习和研究，最主要的还是培养发现问题，分析问题，解决问题的能力。 参考文献： 1施永新。巧用函数单调性解题例说J.数理化解题研究（高中版） ， 2011， （01） 2蒋自伟，函数单调性解数学题常见类型解析J.中学生数理化（高中版.学 研版） ，2011（03） 3王保国.函数单调性判断的四种方法J。数学爱好者，2006
