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1、1 SARS 传播的数学模型及应用 摘要：本文建立了若干SARS传播的数学模型，利用这些数学模型可以预测SARS的传 播规律，控制疫情蔓延，为了有效预防SARS的爆发和传播，提供可靠的信息支持。 1 引言 SARS是一种严重的呼吸道传染病，对人类的健康和生命曾经造成巨大的威胁，对 SARS的传播进行定量的分析，建立有效的 数学模型，具有重要的现实意义和学术价值， SARS的传播具有一定的规律和特点，如何有效预防和控制SARS的传播和蔓延对疫情传 播作出合理预测和估计是建立数学模型的主要动机。 假定初始时刻的病例数为N 0 ，由于SARS具有典型的传染性，若平均每个病人每天可传 染K个人，平均每
2、个病人可感染他人的时间为L天，则在L天之内，病例数目的增长 随时间t（单位天）的关系为： N（t）=N 0 (1+K) t（1） 如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的 作用及采用治疗，隔离和死亡等因素的影响，病例数的增长将显著偏离指数律，增长 速度会放慢。 很显然在SARS发病初期的一段时间内，该模型是合理的，但随着SARS的传播和 社会采用的各种措施的加强，该模型在发病的高峰期过后会逐渐失去其意义。如何建 立有效的数学模型对SARS传播的整个过程进行有效的预测和控制是本问题的主要任务。 2 符号与模型 设t时刻的病例数为N(t)，初始时刻为t=0,此时病例数
3、为N 0 ，t时刻的病例增长 率为K（t） （单位时间内N（t）的增量与N（t）的比例系数） ，根据假设可得， N（t）满足的微分方程为：（2） 0 0 dN K t N t dt N N 若增长率K（t）为常数，设K（t） K 0 ，则（2）变为 （3） 0 0 0 dN K N dt N N 解之得：（4） 0 0 K t N t N e 表明SARS 病人将按指数规律无限增长（K0） 。 将t以天为单位离散化， （4）式表明SARS病人以 为公比的等比例增长。 0 k e 因为此时K表示天增长率，通常K 0 1，故可用近似关系 1+K 0 ，将（4）式写为 = 0 k e（5） 0 0
4、1 t N t N K 2 比较（1）和（5）可知，模型（1）不过是指数增长率模型离散形式的近似表示。因此， 模型（2）式比模型（1）式更广泛。 假设K（t）为常数，在SARS爆发初期有其合理性，但随着政府对疫情的控制及治 愈、隔离或死亡等因素的影响，K（t）一般不是一个常数；为此假设K(t)是一个连续 函数，可构造K（t）如下：（6） 0 1 1 2 2 ,0 0, , K t T T t T K t r t s t T t T 其中从0到T 1 为SARS爆发初期，在这个时期病例数按指数增长；从T 1 到T 2 为爆发高 峰期，此时由于受到控制，增长与控制持平，这一时期是很短暂的，随之而来
5、的是控 制函数s(t)大于自然增长率r(t)，此一时期病例数开始下降。若r(t)，s(t)皆为常数， 则r(t)-s(t)亦为常数。则由（4）式知当r(t)-s(t)0时，病例数开始按指数律下降。 模型（6）说明，早预防，早隔离，早治疗，早控制不但会明显缩短SARS爆发的周期 T，而且每天最高病例数 也会显著减少。例如提前五天控制。则T 1 变为T 1 -5， 0 1 0 K T N e 最高病例数变为： ，这充分说明了在SARS爆发初期进行有效 0 1 0 1 0 5 5 0 0 K T K T K N e N e e 控制的重要性。 将（6）式代入（2） ，通过求解微分方程可得其解曲线大致
6、为： 3 模型的推广 为了必须叫准确地预测SRAS传播，利用微分方程构造的数学模型（2）虽然能够 预测SARS 病例数的增长规律，但通过与实际数据拟合发现，其精度并不高。为了提高 精度，构造如下模型：（7） 1 i m t i i N t ce 其中m为某个正整数， 为待定常数。为了确定待定常数，利用非 1 2 1 , ,., , ,., m m C C C 先行最小二乘法确定这些常数。 首先，根据统计数据（北京地区）得到每天SARS病例数，比如 相对应的病例数为N 0 ，N 1 ，N 2 ，N n ，该数据可由某天的 0 1, ,( 1,2,., .) i t t i i n 累计病例数减去
7、累计治愈数和累计死亡数而得到。构造函数：（8） 2 1 1 1 1 ,., , ,., i j n m t m m i j j i f c c ce N 通过求解下列无约束优化问题而得到实验数据 1 1 ,., , ,., m m C C 3（9） 1 1 min ,., , ,., m m f C C 利用 （10） 1 i m t i i N t C e 预测n天之后的SARS病例数，例如n+1天的病例数为 。 1 1 1 i m n i i N n C e 求解无约束优化问题（9） ，首先求 ， 和 的偏导 1 1 1 ,., , ,., m m f C C C 对， m C 1 ,.,
8、 m 数并令其为0得：（11） 1 1 2 0, 1,2,., k j i j n m t t i j j i e Ce N k m （12） 1 1 2 0, 1,2,., k j i j n m t t k j i j j i C t e Ce N k m 这是一个具有2m个方程2m未知量的非线性方程组。由于上述模型（9）不易求解，故将试验函数（7）简化为： （13） 2 N t at bt c 由 知 ， 0 0 N N 0 C N 下面需确定出试验参数 ，根据已测每天SARS病例数， ， , a b ( 1, 2,. ) i t i i n 相应的SARS病例数分别为 利用最小二乘法确
9、定 ，即构造函 ( 1,2,., ) i N i n , a b 数 为 , f a b（14） 2 2 0 1 , n i i f a b ai bi N N 极小化 可得 和 。求 分别对 和 的偏导数并令其为0得 , f a b a b , f a b a b 2 2 0 1 2 0 1 0 0 n i i n i i i ai bi N N i ai bi N N 4 即 （15） 4 3 2 0 1 1 1 3 2 0 1 1 1 n n n i i i i n n n i i i i a i b i i N N a i b i i N N 故 4 3 2 0 0 1 1 1 1 2
10、 4 2 3 1 1 1 2 2 3 0 0 1 1 1 1 4 2 3 2 1 1 1 ( ) n n n n i i i i i i n n n i i i n n n n i i i i i i n n n i i i i i N N i i N N b i i i i i N N i i N N a i i i 从而. （16） 2 N t a t b t c 可作为 时刻 SARS 病例函数，因此函数可预测第 天以后的 SARS 病例数。 t n 4.数学模型的应用 上节所建立的数学模型不但可以用来预测每天的病例数，而且还可以预测每天的 新增病例数， （此时，. 用来表示新增病例数）
11、 ，每天的治愈出院数和每天的死亡人 N t 数。通过分析数学模型可得出若干有用信息以尽早预防，控制 SARS 传染病的蔓延， 对于（1）式表示的模型，其在发病初期是很有效的，反映了 SARS 传播垂青的指 数增长规律，也说明了及时采取控制的必要性。但是该模型不能进行长期的预测，对 SARS 传播及控制的整个过程缺乏必要的信息支持，特别是假设病人增长率 K 已不能 尽用一个常数来表示，因此模型具有明显的缺点。 对于本文建立的微分方程模型，其可以对 SARS 传播进行中长期预测，该模型是 一个能够预测及能为预防和控制提供可靠和足够信息的模型，但建立该模型的困难是 需要具体确定增长率函数 ，即确定自
12、然增长率 和控制函数 （包括治愈率， k t r t s t 死亡率和有效隔离等因素） ，对 和 需用试验分析的方法来近似确定。从模型分 r t s t 析的实验分析可以看出，对于 SARS 的传播应采取早预防、早发现、早隔离、早治疗、 早控制的措施，在 SARS 的传播如果提前 5天控制，不但可以有效控制 SARS 病例的 增长率而且可以大大缩短 SARS 传播周期。对香港 SARS 传播的数据分析可以看出，由于采用了有效的控制措施，虽然 SARS 发现初期病例 较大，但 SARS 增长率明显降低，减少了累计病例数，SARS 流行的 0 N 周期很短。广州、台湾和北京对 SARS 的控制很显
13、然不如香港控制得好。 .定量预测SARS 传播与控制 5 研究 SARS 传播规律和预测 SARS 传播发展趋势对于保证人民健康和生命安全 具有重要的意义。很多报道采用定性分析的方法进行研究或采用病理分析的方法进5 行研究的实例。但采用定量分析的方法来预测、控制 SARS 传播的实例却很少。 利用数学模型方法研究 SARS 传播的特点和规律，可以指导医疗卫生部门采用更有 效措施控制 SARS 的传播和蔓延。SARS 传播数学模型的特点是，对 SARS 传播的 整个过程进行模拟、预测和控制，能提供足够的信息对 SARS 的预防和控制提供有 力支持。模型预测可以提供更精确更具体 的信息，从深层次上
14、认识 SARS 传播的 特点，提出更加具体合理的控制 SARS 传播的措施。从定性分析、定量分析和模拟 试验分析方面都说明了早预防、早发现、早隔离、早治疗、早控制对预防 SARS 传 播的必要性和重要性。 .结论. 6 本文建立了 SARS 传播与控制的数学模型，揭示了 SARS 传播的特点和规 律，阐明了早预防、早发现、早控制、早治疗、早隔离对 SARS 传播进行控制 的必要性和重要性。数学模型不但可对 SARS 的传播进行短期预测，而且可进 行中长期预测，对于减少发病率，缩短流行周期具有一定的指导意义。众所周知，传染病是危机人类身体健康的重要因素之一，长期以来，人类一直在与各种各样的 传染病作着斗争，而传染病的发展与种类也一直受到世界各国的关注。随着社会的发展、卫生设施 和医疗水平的改善，随着人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染病已经得到 了有效的控制，但是同时也出现了一些更难以控制、传播也
