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1、分类号: O172.1 单位代码： 106密 级： 一般 学 号: 0803042230 本科毕业论文（设计）题 目： 对称性在积分中的应用专 业： 数学与应用数学 姓 名： 王 静 指导教师： 张 璐 职 称： 讲 师 答辩日期： 二 0 一 0 年六月延安大学本科毕业论文（设计）II延安大学本科毕业论文（设计）I对称性在积分中的应用摘要：积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法
2、.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷.关键词：对称；积分；应用延安大学本科毕业论文（设计）IIApplication of the symmetry inAbstract :Integration points used in the calculation is a difficult point. Certain points in the calculation process, if use of symmetry, you can simplify the integral calculation. Th
3、is article describes some common points of symmetry in the calculation process and its application in several conclusions, and through an example using the integral area of the symmetry and the parity of the integrand to simplify integration, the curve integral, surface integral calculated. In addit
4、ion, the calculation for the surface integral, the paper also gives the surface integral on the variable use of symmetry simplifies the calculation of surface integrals is the surface integral of the calculations are more convenient.Keywords: symmetry; points; application延安大学本科毕业论文（设计）III目录1 引言 .12
5、相关的定义 .13 重积分的对称性 .13.1 二重积分的对称性定理及其应用 .33.2 三重积分的对称性定理及其应用 .44 曲线积分的对称性 .44.1 第一型曲线积分的对称性定理及其应用 .64.2 第二型曲线积分的对称性定理及其应用 .75 曲面积分的对称性 .75.1 第一型曲面积分的对称性定理及其应用 .95.2 第一型曲面积分的对称性定理及其应用 .106 小 结 .11参考文献.12谢 辞.13延安大学本科毕业论文（设计）1对称性在积分中的应用1.引言积分的对称性包括重积分，曲线积分，曲面积分的对称性.在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往
6、往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续.2.相关的定义定义 1： 设平面区域为 ,若点 ,则 关于直线 对D),(yx)2(yxaDax称，对称点 与 是关于 的对称点.若点 ),(yx)2yxa)2,(yb，则 关于直线 对称，称点 与 是关于 的对称（显,Db),(yx),yb然当 , 对 关于 , 轴对称）0abyx定义 2: 设平面区域为 ,若点 ，则 关于 对D),(),(axD
7、axy称，称点 与 是关于 的对称点.若点 ),(yx),aa,(),(，则 关于直线 对称）Dz注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.3.重积分3.1 二重积分的对称性定理定理 1：设有界闭区域 , 与 关于 或 轴对称.设函数 在12D12Dyx),(yxf有界闭区域 上连续，那么（）若 是关于 （或 ）的奇函数，则),(yxfx(,)Difd0（）若 是关于 （或 ）的偶函数，则 =2 ，x,y(,)Difxyd1(i)2延安大学本科毕业论文（设计）2注释：设函数 在有界闭区域 上连续),(yxfD（
8、）若 关于 轴对称，则DD xyxfdyxfdyxf! ),(),(20),( 为 偶 函 数关 于 变 量， 如 果关 于 变 量 为 奇 函 数如 果 其中 是 的右半部分: =110|),(（ii）若 D 关于 x 轴对称，则D yyxfdyfxdyf2 ),(),(0),( 为 偶 函 数关 于 变 量， 如 果关 于 变 量 为 奇 函 数如 果 其中 是 的上半部分： =2 0|),(定理 2：设有界闭区域 D 关于 x 轴和 y 轴均对称，函数 在 D 上连续且),(yxf关 和 均为偶函数，则),(yxf Ddfdf3),(4),(其中 是 的第一象限的部分： =3D3 0,|
9、,yxy定理 3：则设有界闭区域 D 关于原点对称，函数 在 上连续，则)(f DDD yxffdyxfdyxfdyxf12 ),(),(,)(),(20),( 如 果如 果 其中 = ， =1|),(20|),(例 1：计算 ，其中 D 由下列双纽线围成：Dxyd(1) )()(22yx(2) yx解：（1）由于 围成的区域关于 x 轴 y 轴均对称，而被积)(2)(22函数 关于 （或 轴）为奇函数xyy则有 Dd0（2）由 围成的区域对称于原点，而被积函数 是关于)(2)(22yxx xy延安大学本科毕业论文（设计）3, 的偶函数xy则有 =Dxdy21Dxdy由极坐标知 ，代入sin,
10、corrxyx2)(2得 且由 ，知2sinrxy00i12则 于是0Dd61cosin20si3drr定理 4：设有界闭区域 D 关于 对称, 函数 在 上连续，则xy),(yxfD=f(x,)d()fd例 2：设函数 在 上的正值连续函数1,0证明： ，其中 为常数，()()2Dafxbfydab a, 1yx,0|)(,D证明：积分区域 D 关于 对称x (,)(,)fxyfy设 由函数关于两个变量()DabIdxf，以上两式相,得()fyIfx，从而2Dabd1()I一般地，有以下定理： 定理 5：设有界闭区域 ， 与 关于直线 对称，12D12 0:cbyaxL函数 在 上连续，那么：),(yxfD（）若 是关于直线 的奇函数，则),(fL(,)Dfxyd（）若 是关于直线 的偶函数，则 2 ，
