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1、1 浅谈提高初中数学例题教学有效性的实施策略 佘山学校 万利益 摘要：例题，在初中数学教学中至关重要，通过例题教学，如何来落 实“双基”、促进理解、发展思维，这也是很多教师都在思考的问题。本 文从数学例题教学角度入手，探索了例题的含义，分类及其教学意义，并 结合自身在例题教学中的一些实践经验,阐述了明确目标、重视分析、学 生主体、活学巧设、反思总结这几条提高初中数学例题教学有效性的实施 策略。关键词：例题教学 有效 实施策略 一、例题的含义和分类（一）例题的含义 在数学教育教学实践中,我们经常会听到数学例题、数学习题等表述 方式。问题、例题、习题,是数学学科中三个相关的概念,很多时候,这三 个
2、概念是混着使用的。为能更简单的理解，在此,对问题、习题、例题做 一些简单区分： 问题,泛指数学领域内需要解决的对象,它是一个包含了例题、习题的 上位概念。 习题,包括数学教科书中正文中的练习题、正文后的练习题及课后的 作业题。例题,通常指数学教科书中具有像“例1、例2”这样标志的数学 题目,也有以“问题”为标示的题目,设置在正文中,起到对一节课的数学 知识引入、引导或运用的示范性的作用，还包括因教学需要，教师补充或2 修改或变式的题目。（二）例题的分类 数学问题按照不同的分类标准有不同的分类方法：根据数学问题要求 解答的形式,分为求解题、求证题、求作题；按所属数学领域,分为代数题、 平面几何题
3、、三角题等；按题目综合程度,分为单一型题与综合型题,综合 题目又分横向综合与纵向综合；按评价的客观性,分为主观题与客观题； 根据题目要素,分为标准型题、训练型题、探索型题、问题型题；根据题 目条件与答案的确定性,分为开放型题与封闭型题；根据应用范畴,分为纯 数学题与应用题。就现行的教科书来看,数学例题从功能上大体可分为下 列几类: 1.引导概念型例题:即在引入某一新概念之前,以实例的形式进行引导,从 而得出新的概念,如两条笔直的铁轨无限伸展引出平行线的概念；时钟的 分针与时针引出角的概念；为了引出二次函数的概念，常常会给出一组引 例，如： 问题1： 若圆的半径为 x 厘米，圆的面积为 y 平方
4、厘米，试写出 y 关于 x 的函数解析式； 问题2： 甲、乙两数的和为20，设甲数为 x，甲、乙两数的积为 y，试写出 y 关于 x 的函数解析式； 问题3： 矩形的长为4厘米，宽为3厘米，如果将它的长与宽都增 加 x 厘米，记现在的矩形面积为 y 平方厘米，试写出 y 关于 x 的函数解 析式； 问题4： 汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加. 据3 统计，2009年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2011年，该品 牌汽车的年产量达到 y 万辆. 若该品牌汽车年产量的年增长率从2009年 开始五年内保持不变，均为 x，试写出 y 关于 x 的函数解析式； 问题5： 把一根长
5、40厘米的铁丝剪成两段，再分别把每一段弯折成 一个正方形（不计接头处的损耗）设其中一段铁丝长 x 厘米，两个正 方形的面积和等于 y 平方厘米，求 y 关于 x 的函数解析式。 2.推导公式（公式、定理、法则、性质）型例题:即通过一系列例题 推导出某些公式法则、性质等。 例如在学习反比例函数的图像和性质时， 常常通过“画出函数 ， ， ， ， ， 的图像， x y 2 x y 4 x y 6 x y 2 x y 4 x y 6 观察它们的特征”得到一般反比例函数的图像和性质：（1）当 k0 时， 函数图像的两支分别在第一、三象限；在每一个象限内，当自变量 x 的值 逐渐增大时，y 的值随着逐渐
6、减小。（2）当 k0时，函数图像的两支分 别在第二、四象限；在每一个象限内，当自变量 x 的值逐渐增大时，y 的 值随着逐渐增大。（3）图像的两支都无限接近于 x 轴和 y 轴，但不会与 x 轴和 y 轴相交。 3.巩固知识型例题:教材中每一章节内容后都安排了一系列较简单的 运用所学过的知识进行练习的例题,其目的是加深理解和掌握刚学的内容。 如17.2（3）学习一元二次方程求根公式后，立刻举例：用公式法解下列 方程：（1） ；（2） 0 1 6 5 2 x x x x 2 2 2 2 4.综合应用性例题:既要运用到刚学过的定理、公式,又要联系到以前 学过的知识,并需利用一定的解题技巧。例如（分
7、组分解法因式分解） ，这里不仅需要学生能够合理的分组，而且还能够熟练掌握 1 2 2 2 x y x4 平方差公式、完全平方公式。在学习18.3反比例函数的图像和性质时， 教材安排了这样一道例题（例题3）：已知函数 ，且 与 成正 2 1 y y y 1 y x 比例， 与（ ）成反比例，当 =-2时， =-7，当 =-7时， =13. 2 y 2 x x y x y （1）求y关于x的函数解析式；（2）求当 =5时 的值. x y5.隐含公式型例题:这种虽以例题的形式出现,但实际上可当公式用 的例题在教材中也屡见不鲜，对于教材给出的教学内容,如何适时适度采 取合理方式进行例题教学,是每个数学
8、教师都必须了解和掌握的。 例如9.12学完完全平方公式后，计算 ； 2 ) ( c b a 又如：24.5相似三角形的性质中的例题4：如图，在ABC 中， ACB=90，CD 是边 AB上的高。 求证：（1）AC 2 =AD AB；（2）CD 2 =AD BD 二、例题教学的目的和意义 关于解题目的，我国教学大纲早有精辟论述。例如，2000年颁布九 年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试验修订版）明确指出：练习 的目的是使学生进一步理解和掌握数学基础知识，训练、培养和发展学生 的基本技能和能力，能够及时发现和弥补教和学中的遗漏或不足，培养学 生良好的学习习惯和品质。所以，解题有四大目的：加深
9、理解和掌握双基； 培养和发展能力；查漏补缺；培养学习习惯，学会思考。 例题教学是解题教学的重要组成部分。例题是所学概念、公式、法则、 定理的深入巩固与应用，是数学思想、解题方法的巧妙体现与渗透，是学 生平时作业、考试解题的良好示范，是学生获取知识、掌握解题技能技巧 的重要途径。同时课本例题作为教材的有机组成部分，是我们教学中不可5 忽视的一项重要内容和不可欠缺的重要环节，它们都是经过数学教学专家 精心筛选而得的问题之精华，具有很好的基础性、典型性、启发性、综合 性、应用性、创新性。 因此课本例题的有效利用可以让学生更好地掌握 基础的数学知识技能，领会重要的数学思想方法，培养良好的数学思维品 质
10、，提升解决问题的能力。 三、提高初中数学例题教学有效性的实施策略(一）明确目标策略研读课程标准和教学基本要求，制定教学目标。明确例题的教 学目的，是提高例题题教学效果的关键。每位教师都必须依照课程标准和 教学基本要求，制定合理的教学目标。就某个阶段，某节课来说，每个问 题的目标都必须明确，并且围绕核心目标展开。例如，在初三专题复习课 图形的平移与旋转一课中，我认真研读了教学要求“发现和归纳 图形的平移、翻转、旋转等运动各自的基本特征和它们保持图形的形状、 大小不变的共性；学习和总结平行线、轴对称图形、旋转对称图形的有关 知识；展示图形的运动和变化；初步体会图形变换的思想，初步形成动态 地研究图
11、形的意识。”围绕这个目标，我设计了这样一道例题： 如图，已知四边形 ABCD 是正方形，AEF 是等边三角形， E、F 分 别位于 DC 边和 BC 边上 （1）求 的度数； DAE （2）将AEF 绕着点E逆时针旋转 m(0m180)度， 使得点 A 落在正方形 ABCD 的边上，求 m 的值 并进一步明确了本题的教学目标和教学设想。6 教学目标： 在具体问题情境中能识别旋转中心，辨别旋转方向，计算旋转角， 巩固旋转的概念； 解决动态问题时，养成画“草图”的习惯，为分析、解决问题提供 思路； 发现题目结论的多种可能，掌握数学分类讨论思想。 教学设想： 关注学生思维发展。教学中，教师应引发学生
12、主动思考，培养学生 的识图能力、观察能力、动手操作能力、信息迁移能力以及相关几何知识 运用。 指导学生解决图形运动问题时养成画“草图”的习惯。由于本题结 论存在多种可能，如果学生思维不够严密，就会导致“失解”，一个有效 的方法就是让学生用圆规画图，这样不仅可以帮助学生理解题意，克服思 维的定势，而且可以化抽象为形象，弥补“看”的不足。 及时归纳和提升。例题分析时，教师应有意识引导学生巩固图形旋 转的概念（包括旋转中心、旋转方向、旋转角）；例题求解时，应揭示 “发现”（发现等腰三角形）的关键是认识到图形“变中不变”的性质， 求解的关键是是将角度计算问题转化为等腰三角形内角计算问题；例题反 思时，
13、将三角形的的旋转、线段的选旋转、点的旋转进行比较，从而体会 图形旋转的本质是点的旋转。 （二）重视分析策略 重视解题思路的分析，呈现思维过程。对例题的讲解，教师不能将解7 法和盘托出，因为对学生后续学习真正有帮助的是知道题目的关键条件是 什么？为什么要这样解？这个方法怎么想到的？所以教师必须从解题手转 变成解题的组织者，引导学生积极思考，将整个思维分析过程暴露出来， 探索解题思路。 比如：19.2（4）例8：如图，ABD 中， ACBD,垂足为点 C，AC=BC.点 E 在AC上， 且 CE=CD.联结 BE 并延长交 AD 于点 F. 求证：BFAD我是这样引导学生这样进行思路分析：先让学生
14、从已知条件 AC=BC,ACBD，CE=CD 看到BCEACD,再从待证结论分析，要证 BFAD，只需证明 BFD=90，由三角形内角和等于 180，可知 EBC+ D+ BFD=180， DAC+ D+ ACD=180，又 ACD=90，因 此只需证明EBC= DAC，而这两个角相等刚好可由BCEACD 得到。又如 19.2（6）例题11：如图，D 是 BC 上一点， BD=CD， BAD= CAD ，求证：AB=AC我引导学生这样分析：证明线段相等常用方法有哪些？学生做出回答后特别针对三角形全等 得线段相等，对于此题不适用，在ABD 和ACD 中，虽然有 BAD= CAD ，BD=CD，A
15、D=AD 三个条件但不能推出三角形全等，在 这一点上，可以说此题打破了思维定势，需另辟途径，再对题目条件各个 分析注意到 D 是中点，根据中心对称可将ABD 旋转180，作出图形后，8 发现实质就是将 AD 延长一倍，进而得到本题的辅助线就是将中线 AD 延 长至点 E，使 DE=AD,因此可得ABD ECD 使 AB=EC。于是要证明 AB=AC，只要证明 EC=AC，也就是要证明 E= CAD，至此，该题的思 路已经明朗化。 在上述两个例题中，我着重思路分析，让学生体会几何证明题中三种 常用的分析方法即：由因导果，从“已知”看“可知”，推向“未知”； 执果索因，即从“未知”看“需知”靠拢“
16、已知”；两头凑，从“未 知”看“需知”，又从“已知”看“可知”，使“需知”与“可知”相衔 接。 （三）学生主体策略教师引导为主，学生是学习的主体。数学课程标准明确指出“教 学活动是师生积极参与，交往互动，共同发展的过程，学生是学习的主体， 教师是学习的组织者，引导者与合作者。”所以在例题教学中，我们尽量 放手学生，让学生自己分析解题思路，自己板演解题过程，自己反思提炼 方法等等；在形式上可以灵活采取分工合作，个别讲解，集体更正等方式； 老师作为合作者只是适当点拨，或遇到特殊情况进行调控。下面就是我在 一道例题教学时的课堂实录。求证：等腰梯形在同一底上的两个内角相等。已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC,AB=DC求证：B= C, A= D 师：我们要解决的问题是证明两组角相等？（我话刚说完，就有学生 举起手）
