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1、池塘养鱼最大利润优化模型 【摘要】 ：随着社会的发展，数学模型在社会领域占据了比较重要的地位。本 文以某池塘养殖鱼类为背景而提出的，养殖户为了获取较大的利润，确定限定 的条件下找出最佳的出售时机以制定最优的养鱼方案解决此养殖最优化方案的 问题。 对于该建模题中对于目标函数的求解，运用了lingo软件进行求解，使得 问题的求解更加快捷和准确。该模型可应用于最大利润的求解，并且简单清晰， 为生产者提供最优化的投资方案。 【关键字】 ： 最大利润 成本费用 最优问题 最优解 lingo- 1 - 一、问题重述 某地有一池塘，其水面面积约为 ，用来养殖某种鱼类。在如下 2 100 100 m 的假设下
2、，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。 （1）鱼的存活空间为 ； 2 / 1 m kg （2）每 鱼每需要的饲料为 ，市场上鱼饲料的价格为 ； kg 1 kg 05 . 0 kg / 2 . 1 元 （3）鱼苗的价格忽略不计，每 鱼苗大约有500条鱼； kg 1 （4）鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长成为鱼， 成鱼的重量为 ； kg 2 （5）池内鱼的繁殖与死亡均忽略； （6）若 为鱼重，则此种鱼的售价为 q 2 5 . 1 5 . İ / . . q q Q （7）该池内只能投放鱼苗。 二、问题分析 在池塘养殖鱼类，我们如何在众多的养殖方案中选择可获取较大利润的时 效
3、三年的养鱼方案，这是我们要解决的核心问题。针对此问题，在假设同批生 长鱼苗在同时间出售的前提下，我们便考虑从出售时机的角度来寻求最优方案， 也就可以先从研究一条鱼的角度来求解问题。 首先算出养殖 天的每条鱼的平均每天产生的利润，即售出价格减去消耗 d 饲料的费用，由此可求出 的最佳解使得在该模型中此利润最大，以及养殖一 d 批鱼的最大利润。进而我们可以求得三年内可养殖该鱼种的批数和获取的利润 值。 三、模型假设 （1）池塘的水面面积都是且只是鱼的存活空间，不会被其他生物所占据； （2）鱼的食物只来源于市场上销售的鱼饲料，且鱼苗仅在每天喂养饲料的- 2 - 情况下生长直至长为成鱼； （3）饲料供
4、给时，池塘里的鱼均只吃每天所需的饲料； （4）鱼可四季生长，不考虑气候的影响，每天鱼的生长重量与鱼的自重成 正比； （5）池塘中该池内只能投放鱼苗且鱼种未全部捕捞前不投放鱼苗； （6）不考虑池内鱼的繁殖与死亡。 四、符号假设 q 0 ： 一只鱼苗的初始重量，单位：kg，即： (kg)； 500 1 q 0 q: 一条鱼在任一时刻的重量,单位：kg; q1:饲养 d天的一条鱼重量，单位：kg； k:鱼每天的生长重量与鱼的自重所成的比例； d: 养殖天数； C: 每条鱼饲养成本，单位：元； C 0 ：每 Kg 鱼每天消耗饲料费用 Q: 鱼的价格，单位：元/kg。 五、模型建立 题目要求设计的是池塘
5、能获取较大利润的三年的养鱼方案，根据设定的假设 同批生长鱼苗在同时间出售，就可以将研究的范围缩小至先考虑一条鱼的利润的 优化求解。 我们可以通过求解的一条鱼的利润的作为目标函数来求整个池塘的基础: 1、每鱼的利润=每条鱼的重量*价格每条鱼饲养成本，即：W=q*QC 2、当 d=365 时成鱼重为： *(1+k)365=2 (Kg)；故：k=1000(1/365)-1； 0 q 3、养殖 d 天每条鱼的重量：q 1 = *(1000(1/365)d（Kg）； 0 q 4、由已知每 Kg 鱼每天消耗饲料费用：C 0 =1.2*0.05= 0.06（元），则有养殖 d 天每条鱼消耗的饲料价格（元）其
6、中 j=0,1,2,.,365； 根据上面的条件从而我们就可以建立一条鱼的利润最大模型为： Max W=q*QC;- 3 - s.t. 0=Q;Q=10; q=2; k=1000(1/365)-1; C= C 0 *q j= 0.06*1/500*(1+k)d; 六、模型求解 1、我们直接运用lingo程序，求解得到模型的最优解，程序及运行结果如 下： model: max=q*Q-(0.06*0.002*(1-(1+x)365)/x; 0=Q;Q=10; q=2; x=1000(1/365)-1;end通过 lingo 软件可以运行得到最优解如下： Global optimal soluti
7、on found.Objective value: 10.27461Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostQ 2.000000 0.000000X 0.1910558E-01 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 10.27461 1.0000002 2.000000 0.0000003 8.000000 0.0000004 0.000000 4.0002445 0.000000 1996.602 由通过lingo软件计算结果可知养殖
8、365天完全成鱼后出售的每条鱼平均每 天产生的利润最高，所以应将每条鱼完全养到成鱼，故每条鱼的利润为w=10*2- 0.06*1/500*(1+x)d（元）其中d=0,1,2,.,365约等于10.27461元。 在这个结果的基础上，我们就可以得到一批鱼的利润W=NW 0 . 2、约束的假设条件： （1） 池塘水面面积约为 ，鱼的存活空间为 ，可知池塘 2 100 100 m 2 / 1 m kg- 4 - 最大能容鱼的重量为10000;而每条成鱼的重量为2 kg/条；则池塘内所饲养的鱼 的数量最多只能为N=10000/2=5000 条。 （2） 365天为一批鱼的生长至销售的周期，因此三年共
9、可以养殖三批此种 鱼类。 综上，我们可以得到 154119 2746 . 10 5000 3 3 W 3 0 1 nW Z Max 在这个模型的基础上，我们就设计出了能获取较大利润的三年的养鱼方案， 即三年池塘共养殖三批该种鱼类，每批投放鱼苗 10kg 即5000条，将鱼养殖365 天长至成鱼，变可获得较大的利润，且该利润为154119 元。 七、模型评价 一、优点： 1、该模型把一个池塘的鱼利润最优的问题简单化，分析到具体每条鱼最优 问题，通过考虑到养殖天数与利润的关系得出了一套获取较大利润的养鱼方案从 而得出总体最优问题。 2、充分运用LINGO软件来编程求解，求解过程简便，所得数据合理。
10、 3、该模型实用性较强，对现实有一定的指导意义。 二、缺点： 1、没有完全解决捕捞的时间问题，只解决同批鱼同时全部捕捞的情况，但可将 这个模型运用到同批鱼不同时捕捞的情况中, 不同时捕捞时的利润会更大一 些。 2、该模型没有充分考虑鱼生长的很多影响因素（如温度、光照等） ；只能做一定 参考，不能把它完全运用实际中。 八、模型的改进与推广 我们可以将该模型推广到同批鱼不同时打捞的情况中，按照该模型的基本思 想进行解答，可将这种更复杂的情况分阶段考虑。- 5 - 由于鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长成为鱼， 成鱼的重量为 ；可以如下方程求出鱼在不同阶段的质量，所需的天数。
11、kg 2 ； ； ； ； 2 k) (1 q 365 0 2 . 0 k) (1 q n1 0 75 . 0 k) (1 q n2 0 5 . 1 k) (1 q n3 0 易得：k=0.0191；n1=243；n2=313；n3=349。从而我们可以知道每条鱼苗经过 243天长成 0.2kg ；经过 313天长成 0.75kg ；经过 349天长成 1.5kg ；经过 365 天长成 2.0kg 。我们就可以制定多阶段的捕鱼优化模型： 设开始放入鱼苗为 x0kg；在 0.20.75kg每天卖鱼 xi kg；在 0.751.5kg每天卖 鱼 xj kg；在 1.52kg每天卖鱼 xk kg；可
12、以建立如下模型： max=6 +8 +10 - - - 70 1 1 i i x 37 1 2 j j x 15 15 3 k k x 243 1 k i m k) x0(1 m j 15 15 3 k k x 0.2*0.05* + - + - 243 m k) x0(1 m 243 i m k) x0(1 m 70 1 1 i i x 243 j i m k) x0(1 m + - 37 1 2 j j x 243 k i m k) x0(1 m j 15 15 3 k k x st 1/500(1+k) 365 =2； ； 10000 ) 1 ( 0 x 243 k ; 10000 k)
13、 x0(1 243 m m - ; 243 i m k) x0(1 m 70 1 1 i i x 10000 - ; 243 j i m k) x0(1 m 37 1 2 j j x 10000 - ; 243 k j m k) x0(1 m j 15 15 3 k k x 10000 m+j+k+l=365. 由于该模型在用lingo软件中，求解程序比较复杂，所以我们在这就不求解了。- 6 - 此外，我们的模型还需要从实际问题的更复杂性来进行调整，这个模型才会比 较接近现实，有较强的实用价值。 参考文献 1 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第三版）M. 北京.高等教育出版社， 2003.8 2 蔡锁章. 数学建模原理与方法M. 北京：海洋出版社，2000 3 张杰，周硕，郭丽解. 运筹学模型与实验M.北京:中国电力出版社,2007 4 施光燕，董加礼.最优化方法.高等教育出版社M，1999.9
