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1、特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念及其计算 定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵， 是一个未知量， 称为A的特征多项式，记 ()=| E-A|，是一个 P上的关于 的n次多项式，E是单位矩阵 。 ()=| E-A|= n + 1 n-1 + n = 0是一个n次代数方程，称为A 的特征方程。 特征方程 ()=| E-A|=0 的根 (如： 0 ) 称为A的 特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而 在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关， 与数域P也有关。 以A的特征值 0 代入 (E-A)X= ，得方程组 ( 0 E-A)X=，是 一个齐次
2、方程组 ，称为A的关于 0 的特征方程组。因为 | 0 E- A|=0，( 0 E-A)X= 必存在非零解 X (0)，X (0) 称为A的属于 0 的 特征向量。所有 0 的特征向量全体构成了 0 的特征向量空间。 一. 特征值与特征向量的求法 对于矩阵A，由AX= 0 X， 0 EX=AX，得： 0 E-AX= 即齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是： 即说明特征根是特征多项式 | 0 E-A| =0的根，由代数基本定 理 有n个复根 1 , 2 , n ，为A的n个特征根。 当特征根 i(I=1,2,n)求出后，( i E-A)X= 是齐次方程， i 均会使 | i E-A|=0，(
3、 i E-A)X= 必存在非零解，且有无穷个解向 量，( i E-A)X= 的基础解系 以及基础解系的线性组合 都是A 的特征向量。 例1. 求矩阵的特征值与特征向量。 解：由特征方程 解得A有2重特征值 1 = 2 =-2，有单特征值 3 =4 对于特征值 1 = 2 =-2，解方程组 (-2E-A)x= 得同解方程组 x 1 -x 2 +x 3 =0 解为x 1 =x 2 -x 3(x 2 ,x 3 为自由未知量 ) 分别令自由未知量得基础解系 所以A的对应于特征值 1 = 2 =-2的全部特征向量为 x=k 1 1 +k 2 2 (k 1 ,k 2 不全为零) 可见，特征值 =-2 的特
4、征向量空间是二维的。注意，特征值在重 根时，特征向量空间的维数特征根的重数。 对于特征值 3 =4，方程组 (4E-A)x= 得同解方程组为通解为 令自由未知量 x 3 =2 得基础解系 所以A的对于特征值 3 =4 得全部特征向量为 x= k 3 3例 2. 求矩阵的特征值与特征向量 解：由特征方程 解得A有单特征值 1 =1，有2重特征值 2 = 3 =0 对于 1 =1，解方程组 (E-A) x = 得同解方程组为同解为令自由未知量 x 3 =1，得基础解系所以A的对应于特征值 1 =1的全部特征向量为 x=k 1 1 (k 1 0) 对于特征值 2 = 3 =0，解方程组 (0E-A)
5、= 得同解方程组为通解为令自由未知量 x 3 =1，得基础解系 此处，二重根 =0 的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数 特征根的重数 ，这种情况下，矩阵A是亏损的 。 所以A的对应于特征值 2 = 3 =0 得全部特征向量为 x=k 2 3 例 3 矩阵的特征值与特征向量 解：由特征方程 解得A的特征值为 1 =1, 2 =i, 3 =-i 对于特征值 1 =1，解方程组 (E-A)= ，由 得通解为 令自由未知量 x 1 =1，得基础解系 1 =(1,0,0) T ，所以A的对应于特 征值 1 =1得全部特征向量为 x=k 1 1对于特征值 2 =i，解方程组 (iE-A)= 得同解
6、方程组为 通解为 令自由未知量 x 3 =1，得基础解系 2 =(0,i,1) T ，所以A对应于特征 值 2 =1的全部特征向量为 x=k 2 2 (k 2 0)。 对于特征值 3 =-i，解方程组 (-E-A)x= ，由 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x 3 =1，得基础解系 3 =(0,-i,1) T ，所以A的对应于 3 =-i 的全部特征向量为 x=k 3 3。特征根为复数时，特征向量的分 量也有复数出现。 特征向量只能属于一个特征值。而特征值 i 的特征向量却有无 穷多个，他们都是齐次线性方程组 ( i E-A)x= 的非 0解。其中， 方程组( i E-A)x= 的基础解
7、系就是属于特征值 i 的线性无关的特征 向量。 性质1. n阶方阵A=(a ij )的所有特征根为 1 ， 2 ，, n (包括重 根)，则 证第二个式子： 由伟达定理， 1 2 n =(-1) n n又 |E-A|= n + 1 n -1 + n-1 1 + n中用 =0 代入二边，得： |-A|= n ， 而 |A|=(-1) n n = 1 2 n ， 性质2. 若 是可逆阵 A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 是A -1 的一个特征根，x仍为对应的特征向量。 证： 可见 是A -1 的一个特征根。 其中 0，这是因为 0不会为可逆阵的特征根，不然，若 i =0,|A|= 1 2 n
8、 =0，A奇异，与A可逆矛盾。 性质3. 若 是方阵 A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 m 是 A m 的一个特征根，x仍为对应的特征向量。 证：1) Ax=x，二边左乘 A，得：A 2 x=Ax= Ax=x= 2 x， 可见 2 是 A 2 的特征根； 2) 若 m 是 A m 的一个特征根，A m x= m x， 二边左乘A，得：A m+1 x=AA m x=A m x= m Ax= m x= m+1 x， 得 m+1 是A m+1 的特征根 用归纳法证明了 m 是 A m 的一个特征根。 性质4. 设 1 ， 2 ，, m 是方阵A的互不相同的特征值。x j 是属 于 i的特征向量
9、( i=1,2,m)，则 x 1 ,x 2 ,x m 线性无关，即不 相同特征值的特征向量线性无关 。 性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而 是一个很重要的结论。 性质4可推广为：设 1 ， 2 ，, m 为方阵A的互不相同的特 征值，x 11 ,x 12 ,x 1,k1 是属于 1 的线性无关特征向量， ，x m1 ,x m2 ,x m,k1 是属于 m 的线性无关特征向量。则向量组 x 11 ,x 12 ,x 1,k1 , x m1 ,x m2 ,x m,k1 也是线性无关的。即对于互不相同特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向 量合在一起的向量组仍是线性无关的。
