《五年级春季：12-完全平方数(大纲+题库)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五年级春季：12-完全平方数(大纲+题库)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、 教学目标 总述：完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍 数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试 卷中的一个热点. 细分：1.掌握平方数的因数与余数的性质；2.初步体会用尾数分析法解有关整数问题；3.初步体会用因数分析法解有关整数问题；4.初步体会余数分析法解有关整数问题；二、 知识点拨 1平方数的因数有下面的一些性质： （1） 平方数的因数的个数必为奇数；反之，恰有奇数个因数的数必为平方数。 （2） 若 p是平方数 M 的因数，则 2 p 也是 M 的因数，且 2 / M p 仍为平方数。 2平方数的余数有下面的性质：
2、 偶数的平方被4整除； 奇数的平方被8除时余数为1，因而被4除时余数也为1。 3、平方数尾数的性质： 性质 1：完全平方数的末位数只能是 0,1,4,5,6,9。 性质 2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 性质 3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是 6；如果完全平方数 的个位数字是 6，则它的十位数字一定是奇数。 4.重点公式回顾：平方差公式： 2 2 ( )( ) a b a b a b 三、 整体思路 注：选做题中，将放除去以上题目类型以外的题目，并要包含以上知识点，分析难度会提 从平方数的分解式开始，进 行平方数的认识 （简单类型） 在认识分解式的基础上
3、， 掌握质因数的指数特征 （阶乘类型） 掌握平方数的因数性质 （包括入门与提高两题） 体会用尾数分析法解有关整 数问题 （入门与提高两题） 用余数分析法解决相关问题 （入门与提高两题） 平方差公式的运用 （认识一题）高。 四、 题目分类 类型一 平方数的分解式，及分解质因数之后的质因数的指数特征 一 简单类型，可以作为学习入门 【例 1】 9207乘以正整数 a 后成为平方数，问：a 的最小值是多少？ 教学建议 运用平方数的分解式特征分析题目，比较简单。 分析解答 要乘的数 a 应满足条件使得 9207的所有质因数个数都为偶数， 则 a 的最小值是 31131=1023； 【例 2】 9207
4、加上正整数 a 后成为平方数，问：a 的最小值是多少？ 教学建议 运用平方数的分解式特征分析题目，比较简单。 分析解答 根据平方数定义，9207加上一个正整数 a 后所得的数可以表示为两个相同的数 相乘的形式，由 9207的分解式看出 9207=9993， =902592079216= 2 95 ；9216-9207=9，则 a 的最小值是 9。 2 96 【例 3】15912乘以一个自然数，得到一个完全平方数，要乘的自然数最小是多少？ 【例 4】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 是 的平方 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 解析 ， ，
5、 2 1234567654321 1111111 2 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 7 原式 2 2 (1111111 7) 7777777 【例 5】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 解析 完全平方数，其所有质因数必定成对出现 而 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍， 3 2 72 2 3 2 6 6 由于 ，所以 、 、 2 31 31 1922 2008 2 32 32 2048 2 2 1 2 2 2 都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个 2 2 31 巩固练习 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小
6、值是_ 【 【解析 解析】 】先将1016分解质因数： ，由于 是一个完全平方数，所以至 3 1016 2 127 1016 a 少为 ，故a最小为 4 2 2 127 2 127 254 【 【巩固 巩固】 】已知 恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。 3528a 【 【解析 解析】 】 ，要使 是某个自然数的平方，必须使 各个不同质因 3 2 2 3528 2 3 7 3528a 3528a 数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以 为 a 2可以使 是完全平方数，故 至少为2 3528a a 二 阶乘类型，难度较提高 【例 6】已知自然数n满足： 除以n得到一
7、个完全平方数，则n的最小值是 12! 。 【 【解析 解析】 】先将 分解质因数： ，由于 除以 得到一个完全平方 12! 10 5 2 12! 2 3 5 7 11 12! n数，那么这个完全平方数是 的约数，那么最大可以为 ， 12! 10 4 2 2 3 5 所以 最小为 n 10 4 2 12! 2 3 5 3 7 11 231 本题也可以这样想，既然 除以 得到一个完全平方数， 的质因数分解式中 12! n 12! 3，7，11的幂次是奇数，所以 的最小值是 n 3 7 11 231 【例 7】考虑下列32个数： ， ， ， ，请你去掉其中的一个数，使得其余 1! 2! 3! 32!
8、 各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是多少？ 【 【解析 解析】 】设这32个数的乘积为A 2 2 2 1! 2! 3! 32! (1!) 2 (3!) 4 (31!) 32 A L L ， 2 2 16 (1! 3! 31!) (2 4 32) (1! 3! 31!) 2 16! L L L 所以，只要划去 这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数 16! 另外，由于 ，而16也是完全平方数，所以划去 也满足题意 16! 16 15! 15! 三综合类型，难度较高 【例 8】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个 数中最小数的最小值为 【 【解析
9、解析】 】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知 数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的 设中间数是x,则它们的和为 , 中间三数的和为 是平方数，设 5x 3x 5x ,则 ， 是立方数，所以 至少含有3和5的 2 2 5 5 x a 2 5 x a 2 2 3 15 3 5 x a a 2 a 质因数各2个, 即 至少是225,中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数 2 a 的最小值为1123 【例 9】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以 5后是5次方数 【 【解析 解析】 】为使所求的数
10、最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子设这个数分解质因 数之后为 ，由于它乘以2以后是完全平方数，即 是完全平 2 3 5 a b c 1 2 3 5 a b c 方数，则 、 、 都是2的倍数； ( 1) a b c 同理可知 、 、 是3的倍数， 、 、 是5的倍数 a ( 1) b c a b ( 1) c 所以， 是3和5的倍数，且除以2余1； 是2和5的倍数，且除以3余2； a b 是2和3的倍数，且除以5余4可以求得 、 、 的最小值分别为 c a b c 15、20、24，所以这样的自然数最小为 15 20 24 2 3 5 【例 10】 A是一个两位数，它的6倍是一个三位数
11、B，如果把B放在A的左边或者右边 得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那 么A的所有可能取值之和为 【 【解析 解析】 】如果把B放在A的左边，得到的五位数为 ；如果把 放在 的右 100 601 B A A B A 边，得到的五位数为 ；这两个数的差为 ， 1000 1006 A B A 1006 601 405 A A A 是一个完全平方数，而 ，所以 是5与一个完全平方数的乘积A又 2 405 9 5 A 是一个两位数，所以可以为 、 、 ，A的所有可能取值之和为 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 2 2 5 2 5 3 5 4 145 类型二
12、 掌握平方数的因数性质 【例 11】 房间里有100盏灯,用1, 2 ,100编号,每盏灯连着一个开关,开始时所有 的灯全都不亮.有100名同学依次进入房间,第一位进入房间的同学把编号为1的倍数 的灯的开关揿动一次(这时所有的灯全亮着); 第二位进入房间的同学把编号为2的倍 数的灯的开关揿动一次(这时编号为偶数的所有的灯全熄灭); 第三位进入房间 的同学把编号为3的倍数的灯的开关揿动一次,如此下去,直到最后一位进入房间的 同学把编号为100的倍数的灯的开关揿动一次.问:这时,房间里哪些灯亮着? 教学建议 题目比较灵活，可以作为躯题。 分析解答 原来不亮的灯，若开关揿动奇数次，则将变亮；开关揿动
13、偶数次，则仍然不亮。 而根据题意，第 k个进去的人只揿动编号为 k的倍数（即含因数 k）的灯的开关，故一盏 灯的开关揿动的次数，恰等于灯的编号所含因数的个数。因为只有平方数的因数的个数为 奇数，故只有编号为平方数的灯亮着，即亮着的灯的编号为， 4，9，16，25，36，49，64，81，100。 【例 12】 为什么平方数的因数的个数必为奇数？试说明理由。 教学建议 题目具有探索性，符合“接受学习”的特点。 分析解答 （ 1 1 ） （ 2 1 ） 。 。 。 （ 1 k ）为奇数，即 M 的因数的数目为奇数。 【例 13】 在100200之间的整数里，因数个数为奇数的都有哪些？ 【解析】12
14、1/144/169/196 巩固提高 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数 解析 1818=324,1919=361,2525=625,2626=676,所以在360630之间的完全平方 数为192,202,212,222,232,242,252即360到630的自然数中有奇数个约数的数为 361,400,441,484,529,576,625 【例 14】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 解析 设该数为 ，那么它的平方就是 ， 1 2 1 2 n a a a n p p p L 1 2 2 2 2 1 2 n a a a n p p p L 因此 1 2 2 1 2 1 2 1 39 n a a a L 由于 ， 39 1 39 3 13 所以， ， ，可得 ， ； 1 2 1 3 a 2 2 1 13 a 1 1 a 2 6 a 故该数的约数个数为 个； 1 1 6 1 14 或者， ，可得 ，那么该数的约数个数为 个 1 2 1 39 a 1 19 a 19 1 20 所以这个数的约数个数为14个或者20个 类型三 体会用尾数分析法解有关整数问题 设 M 为平方数，且 1 2 1 2 k k M p p p ，则 1 2 , , , k
