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1、规律探索 一选择题 1 （2013泰安，20，3分）观察下列等式： 3 1 3，3 2 9，3 3 27，3 4 81，3 5 243，3 6 729，3 7 2187 解答下列问题：33 2 3 3 3 4 3 2013 的末位数字是（ ） A0 B1 C3 D7 考点：尾数特征 分析：根据数字规律得出 33 2 3 3 3 4 3 2013 的末位数字相当于：37913 进而得出末尾数字 解答：解：3 1 3，3 2 9，3 3 27，3 4 81，3 5 243，3 6 729，3 7 2187 末尾数，每 4个一循环， 201345031， 33 2 3 3 3 4 3 2013 的末
2、位数字相当于：37913的末尾数为 3， 点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键 2.（2013四川绵阳，12，3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1） ， （3，5，7） ， （9，11，13，15，17） ， （19，21，23，25，27，29，31） ，现用等式 A M =（i，j）表示正奇数 M 是第 i 组第 j 个数（从左往右数） ，如 A 7 =（2，3） ，则 A 2013 =（ C ） A （45，77） B （45，39） C （32，46） D （32，23） 解析第 1组的第一个数为 1，第 2组的第一个数为 3，第 3组
3、的第一个数为 9，第 4组 的第一个数为 19，第 5组的第一个数为 33将每组的第一个数组成数列： 1，3，9，19，33 分别计作a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 a n ， a n 表示第n组的第一个数， a 1 =1 a 2 = a 1 +2 a 3 = a 2 +2+41a 4= a 3 +2+42 a 5 = a 4 +2+43 a n= a n-1 +2+4(n-2) 将上面各等式左右分别相加得： a n=1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n 2 -4n+3 (上面各等式左右分别相加时，抵消了相同部 分a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +
4、 a 5 + + a n-1 )， 当n=45时，a n= 3873 2013 ,2013不在第45组 当n=32时，a n= 1923 2013 ,(2013-1923)2+1=46, A 2013 =(32,46). 如果是非选择题：则2n 2 -4n+32013，2n 2 -4n-20100，假如2013是某组的第一个数， 则2n 2 -4n-2010=0，解得n=1+ , 1006 31 32,32n33, 2013在第32组，但不是第32组的第一个数，a 32 =1923, (2013- 1006 1923)2+1=46. (注意区别a n 和A n ) 3. （2013湖南益阳，1
5、3，4分）下表中的数字是按一定规律填写的，表中 a的值应是 1 2 3 5 8 13 a 2 3 5 8 13 21 34 【答案】：21 【解析】通过观察可知上一排每个数字等于其左下方的数字。 【方法指导】本题可以通过观察上下排数字的联系求出 a 的值，也可以根据“前两个数字 之和等于第三个数字”求出 a=8+13=21。 4. （2013重庆市(A)，10，4分）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其 中第（1）个图形的面积为 2cm 2 ，第（2）个图形的面积为 8 cm 2 ，第（3）个图形的面 积为 18 cm 2 ，第（10）个图形的面积为（ ） A196 cm 2B20
6、0 cm 2C216 cm 2D 256 cm 2 【答案】B 【解析】观察图形，第（1）个图形中有 1(1 2 )个矩形，面积为 2cm 2 ，即 122cm 2 ；第 （2）个图形中有 4(2 2 )个矩形，面积为 8 cm 2 ，即 422 2 28cm 2 ；第（3）个图形有 9(3 2 )个矩形，面积为 18 cm 2 ，即 923 22 218cm 2 ；，所以第（10）个图形有 100(10 2 )个矩形，面积为：1002200cm 2 故选 B 【方法指导】本题考查数形规律探究能力图形类规律探索题，通常先把图形型问题转化 为数字型问题，再从数字的特点来寻找规律进行解答 5 （2
7、013山东德州，12，3分）如图，动点 P 从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当 碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第 2013次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为（ ）A、 （1，4） B、 （5，0） C、 （6，4） D、 （8，3） 【答案】 D 【解析】如下图，动点P（0，3）沿所示的方向运动，满足反弹时反射角等于入射角， 到时，点P（3，0） ；到时，点P（7，4） ；到时， 点P（8，3） ；到时，点P（5，0） ；到时，点 P（1，4） ；到时，点P（3，0） ，此时回到出发点，继续. .，出现每5次一循环碰到矩形的边.因为 2013=4025+3（201
8、35=402 3）.所以点P第 2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（8，3）.故选D. 【方法指导】本题考查了图形变换（轴对称）与平面直角坐标系规律探索.以平面直角坐标 系为背景，融合轴对称应用的点坐标规律的规律探索题，解题关键从操作中前面几个点的 坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律. 6 （2013山东日照，11，4分）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据 此规律,图形中 M 与 m、n 的关系是A M=mn B M=n(m+1) CM=mn+1 DM=m(n+1) 【答案】D 【解析】由前面向个题的规律可得 M=m(n+1)。 【方法指导】本题是考查找规律的问题，
9、这类问题要求认真分析所给的信息，从而找到一 个能代表这个规律的式子来代替。 7 （2013湖南永州，8，3分）我们知道，一元二次方程 1 2 x 没有实数根，即不存在一 个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“”，使其满足 1 2 i (即方程 1 2 x 有一个根 为)，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍 然成立，于是有 , 1 i i 1 2 i ， , ). 1 ( 2 3 i i i i i . 1 ) 1 ( ) ( 2 2 2 4 i i 从而对任 意正整数 n，我们可得到 , . ) ( . 4 4 1 4 i i i i i i n
10、n n 同理可得 , 1 , , 1 4 3 4 2 4 n n n i i i i 那么， 2013 2012 4 3 2 i i i i i i 的值为 A0 B1 C-1 D 【答案】D. 【解析】由于 2 3 4 i i i i = 1 1 0 i i ，而 2013 4 503 1 ， 2013 2012 4 3 2 i i i i i i =，所以本题选 D。 【方法指导】对于数字规律题，有如下的步骤： 1.计算前几项，一般算出四五项； 2.找出几项的规律，这个规律或是循环，或是成一定的数列规律如等差，等比等。 3.用代数式表示出规律或是得出循环节（即几个数一个循环） ； 4.验证
11、你得出的结论。 8 （2013重庆，11，4分）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第 个图形有 1颗棋子，第个图形一共有 6颗棋子，第个图形一共有 16颗棋子，则第 个图形中棋子的颗数为（ ）图 图 图 （第 11题图） A51 B70 C76 D81 【答案】C 【解析】第个图形有 1个棋子，第个图形有 1+5 个棋子，第个图形有 1+5+10 个棋 子，由此可以推知：第个图形有 1+5+10+15 个棋子，第个图形有 1+5+10+15+20 个棋 子，第个图形有 1+5+10+15+20+25 个棋子故选 C 【方法指导】本题是一道规律探索题，考查观察分析图形并探索归纳规
12、律的能力解决此 类问题应先观察图形的变化趋势，从第一个图形开始进行分析，是逐渐增加还是减少，相 邻两个图形的变化量与位置序号有怎样的关系；如果所求图形的位置序号较大时，需要运 用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有 n的代数式 表示出来，最后用代入法求出特殊情况下的数值 【易错警示】用局部的一两个图形之间的规律代替一般规律，这是常见错误；忽视第一个 图形的规律也是常见错误之一 二填空题 1 （2013江西，11，3分）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第 n个图形中所有的个数为 （用含 n的代数式表示） 【答案】(n+1) 2 【解析】找出点数的
13、变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示【方法指导】由图形的变化转化为数学式子的变化，加数为连续奇数，结果为加数个数的 平方. 2 （2013兰州，19，4分）如图，在直角坐标系中，已知点 A（3，0） 、B（0，4） ，对 OAB 连续作旋转变换，依次得到 1 、 2 、 3 、 4 ，则 2013 的直角顶点的坐标为 考点：规律型：点的坐标 专题：规律型 分析：根据勾股定理列式求出 AB 的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相 同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再 用 2013除以 3，根据商为 671可知第 2013个三角形的
14、直角顶点为循环组的最后一个三 角形的顶点，求出即可 解答：解：点 A（3，0） 、B（0，4） ， AB= =5， 由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为： 4+5+3=12， 20133=671， 2013 的直角顶点是第 671个循环组的最后一个三角形的直角顶点， 67112=8052， 2013 的直角顶点的坐标为（8052，0） 故答案为：（8052，0） 点评：本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三 角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点 3 （2013广东珠海，10，4分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，顺次连接正方形 ABCD 四边的中点得到第一个正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 ，由顺次连接正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 四边的中点得到第 二个正方形 A 2 B 2 C 2 D 2 ，以此类推，则第六个正方形 A 6 B 6 C 6 D 6 周长是 考点：中点四边形 专题：规律型 分析：根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形 ABCD 四边中点得正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 的面 积为正方形 ABCD 面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形 A 6 B 6 C 6 D 6的周长 解答
