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1、 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 三 专题 一 复数的分类 复数分为实数、虚数 , 虚数又包括纯虚数和非纯虚数 . 要判断一个复数是否为实数可根据定义判断 , 也可由 z 与 是否相等来判断 , 要判断一个复数是否为纯虚数 , 根据定义需满足 : 实部为零且虚部不为零 ,或由z+ = 0 ( z 0 ) 来判断 . 二 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 三 例 1 当实数 m 为何值时 , 复数 z=2+ m - 2 + 3+ ( 5 m+ 6 ) i 是 : ( 1 ) 实数 ;( 2 ) 虚数 ;( 3 ) 纯虚数 . 思
2、路分析 :复数 z= a +b i ( a , b R ) 为实数 b= 0 ; z= a+b i ( a , b R ) 为虚数 b 0 ; z= a+b i ( a , b R ) 为纯虚数 a= 0 ,且 b 0 . 解 :复数 z 的实部为2+ m - 2 + 3,虚部为 5 m+ 6 . ( 1 ) 复数 z 是实数的充要条件是 2+ 5 m + 6 = 0 + 3 0 = - 2 或 = - 3 - 3 m= - 2 . 故当 m= - 2 时 ,复数 z 为实数 . 二 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 三 ( 2 ) 复数 z 是虚数的充要条件是 2+ 5 m +
3、6 0 + 3 0 - 2 , 且 - 3 - 3 m - 3 ,且 m - 2 . 故当 m - 3 ,且 m - 2 时 ,复数 z 是虚数 . ( 3 ) 复数 z 是纯虚数的充要条件是 2+ m - 2 + 3= 02+ 5 m + 6 0 = - 2 或 = 1 - 2 , 且 - 3 m= 1 . 故当 m= 1 时 ,复数 z 是纯虚数 . 二 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 三 迁移训练 1 - 1 设 z= ( a2+a - 2 ) + ( a+ 6 ) i , a R , 当 a 取何值时 ,( 1 ) z R ?( 2 ) z 是纯虚数 ?( 3 ) z=
4、0 ? 解 : ( 1 ) 若 z R ,则只需 a+ 6 = 0 ,故 a= 1 或 a= 6 . ( 2 ) 若 z 是纯虚数 ,则只需 2+ a - 2 = 0 ,2- 7 a + 6 0 .故 a= - 2 . ( 3 ) 若 z= 0 ,则只需 2+ a - 2 = 0 ,2- 7 a + 6 = 0 .故 a= 1 . 二 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 三 迁移训练 1 - 2 当实数 m 为何值时 , z= m - 2 ) + ( 3 m+ 2 ) i ,( 1 ) 为纯虚数 ;( 2 ) 为实数 ;( 3 ) 对应的点在复平面内的第二象限内 . 解 :根据复数的
5、有关概念 ,转化为实部与虚部分别满足的条件去求解 . ( 1 ) 若 z 为纯虚数 ,则 2- 2 m - 2 ) = 0 ,2+ 3 m + 2 0 ,解得 m= 3 . ( 2 ) 若 z 为实数 ,则 2- 2 m - 2 0 ,2+ 3 m + 2 = 0 ,解得 m= - 1 或 m= - 2 . 二 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 三 ( 3 ) 若 z 在复平面 内的对应点在第二象限 , 则 2- 2 m - 2 ) 0 ,解得 - 1 m 1 - 3 或 1 + 3 m 3 . 故 ( 1 ) m= 3 时 , z 为纯虚数 ; ( 2 ) m= - 1 或 m=
6、 - 2 时 , z 为实数 ; ( 3 ) - 1 m 1 - 3 或 1 + 3 m 3 时 , z 在复平面内的对应点在第二象限 . 二 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 二 三 专题二 复数的运算技巧 复数的加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除 , 加、减法是对应实部、虚部相加减 , 而乘法类比多项式乘法 , 除法类比根式的分子分母有理化 , 但要注意 - 1 . 在运算的过程中 常用来降幂的公式有 : ( 1 ) i 的乘方 : i4 k= 1 , i4 k+ 1= i , i4 k+ 2= - 1 , i4 k+ 3= - i ( k Z ); ( 2 )(
7、1 i )2= 2i ; ( 3 ) 设 = 2i , 则3= 1 , 2= , 1 + + 2= 0 ,1= 2, 3 n= 1 , 3 n+ 1= ( N*) 等 ; 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 三 ( 4 ) 1232i 3= - 1 ; ( 5 ) 作复数除法运算时 ,有如下技巧 : + i - i=( + i ) i( - i ) i=( + i ) i + i= i , 利用此结论可使一些特殊的计算过程简化 . 二 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 三 例 2 计算 :( 1 )- 2 3 + 2 3 i+ 21 - 014; ( 2 ) 求 ( 1
8、+ 3 i )100的展开式中所有奇数项的和 . 解 : ( 1 )- 2 3 + 2 3 i+ 21 - 014=( - 2 3 + i ) i( 1 + 2 3 i ) i+21 007( - 2 i )1 007=( - 2 3 + i ) 2 31007= i i= i - i = 0 . ( 2 ) 因 为 ( 1 + 3 i )100的展开式中所有奇数项都是实数 ,而( 1 + 3 i )100= 210012+32i 100= 2100 - 100= 2100= 299( - 1 - 3 i ), 所以( 1 + 3 i )100的展开式中所有奇数项的和等于 - 299. 二 章
9、末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 三 迁移训练 2 复数 1 +1 ) A . 4i B. - 4i C D. - 4 答案 : D 解析 :本题考查复数的 基本知识 ,可利用复数代数形式的运算法则解决此类问题 . 1 +1 1 + 1 + i )4( 1 + i )4= ( 2i )2= - 4 . 二 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 三 专题三 复数几何意义的应用 例 3 已知复数 z , 且 | z| = 2 ,求 |z - i | 的最大值 , 以及取得最大值时的 z. 解法一 :设 z =x +y i ( x , y R ), | z| = 2 , x2+4
10、, |z - i | = | x +y i - i | =| x + ( y - 1 ) i |= 2+ ( y - 1 )2= ( 4 - 2) + ( y - 1 )2= 5 - 2 . 4 - 4 , - 2 y 2 . 故当 y= - 2 时 , 5 - 2 y 取最大值 9 ,从而 5 - 2 取最大值 3 ,此时 x= 0 ,即|z - i |取最大值 3 时 , z= - 2i . 二 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 三 解法二 :类比实数绝对值的几何意义 ,可知方程 | z | = 2 表示以原点为圆心 ,以 2 为半径的圆 ,而 |z - i |表示圆上的点到点
11、 A ( 0 , 1 ) 的距离 . 如图 ,连接 延长与圆交于点 B ( 0 , - 2 ), 显然根据平面几何知识可知 ,圆上的点 B 到点 A 的距离最大 ,最大值为 3 ,即当 z= - 2i 时 , |z - i |取最大值 3 . 二 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 一 三 迁移训练 3 在复平面内 , 点 P , Q 分别对应的复 数为 z 1 , z 2 , 且 z 2 = 2 z 1 + 3 - 4i , |z 1 |= 1 ,求点 Q 的轨迹 . 解 : z 2 = 2 z 1 + 3 - 4i , 2 z 1 =z 2 - 3 + 4i . 又 | 2 z 1 |= 2 , |z 2 - 3 + 4i |= 2 ,即 |z 2 - ( 3 - 4i ) |= 2 . 由复数减法的几何意义及模的几何意义知点 Q 的轨迹是以 ( 3 , - 4 )为圆心 , 2 为半径的圆 . 二
