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1、第 3 章 函数易错题 易错点 1 求函数定义域时条件考虑不充分 【例1】 求函数 的定义域 2 1 3 2 y x x 0 ( 1) x 【错解】由题意得 ，解得 ，所以原函数的定义域为 2 3 2 0 x x 3 1 x 3,1 【错因】忽视分母不为零；误以为 =1 对任意实数成立在求函数的定义域时应注意以下几点分 0 ( 1) x 式的分母不为零；偶次根式被开方式非负；对数的真数大于零；零的零次幂没有意义；函数的 定义域是非空的数集 【正解】由题意得 ，解得 ，所以原函数的定义域为 2 3 2 0 1 0 x x x 3 1 1 x x 3, 1 1,1 U 【纠错训练】 （2015湖北
2、高考）函数 的定义域为（ ） 2 5 6 ( ) 4 | | lg 3 x x f x x x A B C D (2, 3) (2, 4 (2, 3) (3, 4 U ( 1, 3) (3, 6 U 【解析】由函数 的表达式可知，函数 的定义域应满足条件： ， ，解 ( ) y f x ( ) f x 4 | | 0 x 2 5 6 0 3 x x x 之得 ，即函数 的定义域为 ，故应选 2 2, 2, 3 x x x ( ) f x (2, 3) (3, 4 U C 易错点 2 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域” 【例2】 已知函数 ，求函数 的值域 3 log 2
3、, 1,9 f x x x 2 2 x f x f y 【错解】设 ， ， ， ， 3 log t x 1,9 , 0,2 x t Q 2 6 6 y t t 0,2 t Q 6,22 函数的值域是 【错因】求函数 定义域时，应考虑 . 2 2 x f x f y 2 1 9 1 9 x x 【正解】因为 的定义域为 ， ，解得 的定义域为 ， f x 1,9 2 1 9 1 9 x x 2 2 x f x f y 1,3 设 ， ， ， ， 函数 的值 3 log t x 1,3 , 0,1 x t Q 2 6 6 y t t 0,1 t Q 2 2 x f x f y 域为 6,13 【纠
4、错训练】奇函数 )是定义在 上的减函数，且 ，求实数 的取值范 ( ) f x ( 1,1) (1 ) (2 1) 0 f a f a a围. 【解析】由 ，得 (1 ) (2 1) 0 f a f a (1 ) (2 1) f a f a 是奇函数， ， ( ) f x ( ) ( ) f x f x (1 ) (1 2 ) f a f a 又 是定义在 上的减函数， ，解得 ( ) f x ( 1,1) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 a a a a 0 1 a 即所求实数 的取值范围是 a 0 1 a 易错点 3 判断函数奇偶性时忽视定义域 【例3】 判断函数 的奇偶性. 1 (
5、 ) (1 ) 1 x f x x x 【错解】 1 ( ) (1 ) 1 x f x x x 2 2 1 (1 ) 1 1 x x x x 是偶函数 2 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) f x x x f x 1 ( ) (1 ) 1 x f x x x 【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的 实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件. 【正解】 有意义时必须满足 即函数的定义域是 1 ( ) (1 ) 1 x f x x x 1 0 1 1 1 x x x x ，由于定义域不关于原点对称，所
6、以该函数既不是奇函数也不是偶函数 1 1 x 【纠错训练】 （2015高考北京，文3）下列函数中为偶函数的是（ ） A B C D 2 sin y x x 2 cos y x x ln y x 2 x y 【解析】根据偶函数的定义 ，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为 ( ) ( ) f x f x 不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. (0, ) 【知识点归类点拔】 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时 一定要先研究函数的定义域。 （2）函数 具有奇偶性，则 是对定义域内 x 的恒等式。常常利用这一点求 f
7、 x f x f x 或 f x f x 解函数中字母参数的值。 易错点 4 求复合函数单调区间时忽视定义域【例 4】 函数 的单调递增区间是_ 2 0.5 log (4 3 ) y x x 【错解一】外层函数为减函数，内层函数 减区间为 ，原函数增区间为 2 4 3 u x x 3 , ) 2 3 , ) 2 【错解二】 ，函数定义域为 ，又内层函数 在 为增函数， 2 4 3 0 x x 1,4 2 4 3 u x x 3 ( 1, 2 在 为减函数，原函数增区间为 3 , ) 2 3 ( 1, 2 【错因】解法一，基础不牢，忽视定义域问题；解法二，识记不好，对复合函数单调性法则不熟练求
8、复合函数单调区间一般步骤是求函数的定义域；作出内层函数的图象；用“同增异减”法则写单 调区间解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用 错 【正解】 ，函数定义域为 ，外层函数为减函数，内层函数 在 2 4 3 0 x x 1,4 2 4 3 u x x 为增函数，在 为减函数，原函数增区间为 3 ( 1, 2 3 ,4) 2 3 ,4) 2 【纠错训练1】 函数 的单调增区间是_ 2 5 4 y x x 【解析】 的定义域是 ，又 在区间 上增函数，在区间 2 5 4 y x x 5,1 2 ( ) 5 4 g x x x 5, 2 是减函数，所以y=
9、 的增区间是 2,1 2 4 5 x x 5, 2 【纠错训练2】已知 在0，1上是 的减函数，则 的取值范围是 ) 2 ( log ax y a x a 【解析】： 是由 ， 复合而成，又 0 ) 2 ( log ax y a u y a log ax u 2 a 在0，1上是 的减函数，由复合函数关系知 应为增函数， ax u 2 x u y a log 1，又由于 在0，1上时 有意义， 又是减函数， 1时， a x ) 2 ( log ax y a ax u 2 x 取最小值是 0即可， 2综上可知所求的取值范围是1 2 ax u 2 a u 2 min a a 易错点 5 解“二次型
10、函数”问题时忽视对二次项系数的讨论 【例 5】函数 的图象与 轴只有一个交点，求实数 m 的取值范围 2 ( ) ( 1) 2( 1) 1 f x m x m x x 【错解】由 解得 0 0 3 m m 或 【错因】知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑 的情况 1 0 m 【正解】 （1）当 时，即 ， 与 轴只有一个交点，满足题意； 1 0 m 1 m ( ) 4 1 f x x x（2） 时， ，解得 ； 1 0 m 2 4( 1) 4 ( 10) ( 1) 0 m m 0 3 m m 或 综上所述，实数 m 的取值范围是 3,0,1 【纠错训练】已知集合 只有一个元素，求 的值与集合 A
11、. 2 | 4 4 0, , A x ax x x R a R a 【解析】当 a0 时，x1；当 时，1644a0，a1，此时 x2 0 a 综上所述： a1 时，集合 A =2；a0 时，集合 A=1 易错点 6 用函数图象解题时作图不准 【例 6】 求函数 的图象与直线 的交点个数 2 ( ) f x x ( ) 2 x f x 【错解】两个 【错因】忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响我们在解题时应充分利用函数性质，画准 图形，不能主观臆造，导致图形“失真” ，从而得出错误的答案 【正解】作图可得在区间 有一个交点，还有 ， 这两个交点，共三个 ( 1,0) (2,4) (4,
12、16) 【纠错训练 1】 （2015 高考湖南，文 14）若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是 ( ) |2 2| x f x b b _. 【解析】由函数 有两个零点，可得 有两个不等的根，从而可得函数 ( ) |2 2| x f x b |2 2| x b 函数 的图象有两个交点，结合函数的图象可得， ，故答案为： . |2 2| x y y b 0 2 b 0 2 b 【纠错训练2】(2015贵阳市高三上期末)函数 的图象大致是（ ） 1 3 3 x x y 【解析】由题意得， ，排除A，当 时， ， ， ，排除B，又 0 x 0 x 3 0 x 3 1 0 x 3 0 3 1 x x 时， ，排除D，故选C. x 3 0 3 1 x x 易错点 7 忽视分段函数各段的取值范围 【例 7】已知函数 ，不等式 的解集为 2 2 , 1, 2 2, 1, x x f x x x 2 f x 【错解】由 ，得 ；由 ，得 ，所以 的解集为 2 2 2 x 1 2 x 2 2 2 x 0 x 2 f x 1 ( 0, ) 2 U 【错因】解第一个不等式时，忽略了“ ”这个大前提 1 x 【正解】 , ；由 ，得 ，由 2( 2) 4 ( 2) 2 2 16 f ( 2) 2 16 2 34
