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1、1 正比例函数一般地，形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫做正比例函数 （proportional function） ，其中k叫做比例系数也就是说，形如 y=kx+b，且b0的函数是正比例函数。 正比例函数图象和性质 一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0）的图象是一条经过原点和 （1，k）的直线我们称它为直线y=kx.当k0时，直线y=kx经过三、一象 限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0 时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上
2、平移b个单位； 当b0时，f(x)=ax+b/x 有最小值（这里为了研究方便，规定 a0，b0），也就 是当 x=sqrt(b/a）的时候（sqrt 表示求二次方根） 5 奇函数。 令 k=sqrt(b/a），那么： 增区间：x|x-k和x|xk； 减区间：x|-kx0 的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴 图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就 先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练， 争取做到特别熟练的地步。 事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说，对勾函 数是双曲线，这个利
3、用二阶矩阵的变幻也是可以得到的。 另外对于二次曲线，他只可能是以下几种情况：圆，椭圆，双曲线，抛物线，或者 是两条直线。 由对勾函数的图像看出来，非双曲线莫属了。 其它解法面对这个函数 f(x)=ax+b/x,我们应该想得更多，需要我们深入探究： 它的单调 性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题6 应该与值域有关；函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方 程思想的运用；众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存 在性问题。因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解 决较为复杂的函数最值问题。 高考
4、例题2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常 数 a0，那么该函数在 (0,a 上是减函数，在 ，a,+）上是增函数 如果函数 y=x+（2b)/x （x0）的值域为 6,+），求 b 的值； 研究函数 y=x2+c/x2 （常数 c 0）在定义域内的单调性，并说明理由； 对函数 y =x+a/x 和 y =x2+a/x2（常数 a 0）作出推广，使它们都是你所推 广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 F(x) =(x2+1/x)n+（1/x2+x)n（x 是正整数）在区间 ,2上的最大值和 最小值（可利用你的研
5、究结论） 当 x0 时，f(x)=ax+b/x有最小值；当 x0, 由均值不等式有： f(x)=x+1/x=2根号（x*1/x)=2 当 x=1/x取等 x=1，有最小值是：2，没有最大值。 当 x0 f(x)=-(-x-1/x) 0,b0）在 x0 上的单调性 设 x1x2 且 x1，x2（0，+） 则 f(x1）-f(x2）=(ax1+b/x1） -（ax2+b/x2） =a（x1-x2）- b（x1-x2）/x1x2 =（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2 因为 x1x2，则 x1-x20 当 x（0，（b/a）时，x1x2b/a 则 ax1x2-bb-b=0 所以 f(x1）-f
6、(x2）0，即 x（b/a），+）时， f(x)=ax+b/x单调递增。 7 重点（窍门）其实对勾函数的一般形式是： f(x)=x+a/x(a0) 定义域为（-，0）（0,+） 值域为（-，-2根号 a2 根号 a,+） 当 x0，有 x=根号 a，有最小值是 2 根号 a 当 x0），它的单调性讨论如下： 设 x10,x1x20，所以 f(x1）-f(x2）0，所以 f(x1）-f(x2）0，即 f(x1）f(x2），所以函数在（ -根号 a,0）上是减函数 当 00，所以 f(x1）-f(x2）0， 即 f(x1）f(x2），所以函数在（ 0，根号 a）上是减函数 当根号 a0,x1x20，所以 f(x1）-f(x2）0，即 f(x1）f(x2），所以函数在（根号 a，+）上是增函数 解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。 反比例函数 知识梳理 知识点l. 反比例函数的概念 重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念
