《人教版九年级数学上册教案：21-2 解一元二次方程（5课时）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版九年级数学上册教案：21-2 解一元二次方程（5课时）（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二 次方程“降次”,转化为两个一元一次方程. 教学目标 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想,并能 应用它解决一些具体问题. 提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax 2 +c=0,根据 平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f) 2 +c=0型的一元二次方程. 教学重难点 重点:运用开平方法解形如(x+m) 2 =n(n0)的方程,领会 降次转化的数学思想. 难点:通过根据平方根的意义解形如x 2 =n,知识迁移到 根据平方根的意义解形如(x+m)
2、2 =n(n0)的方程. 教学过程 一、教师导学 学生活动:请同学们完成下列各题问题1.填空 (1)x 2 -8x+ =(x- ) 2 ; (2)9x 2 +12x+ =(3x+ ) 2 ; (3)x 2 +px+ =(x+ ) 2 . 问题2.如图,在ABC中,B=90,点P从点B开始, 沿AB边向点A以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q 都从B点同时出发,几秒后PBQ的面积等于8cm 2 ? 老师点评: 问题1:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3) ( ) 2. 问题2:设x秒后PBQ
3、的面积等于8cm 2 则PB=x,BQ=2x 依题意,得: x2x=8 x 2 =8 根据平方根的意义,得x=2 即x 1 =2 ,x 2 =-2可以验证,2 和-2 都是方程 x2x=8的两根,但 是移动时间不能是负值. 所以2 秒后PBQ的面积等于8cm 2 . 二、合作与探究 上面我们已经讲了x 2 =8,根据平方根的意义,直接开平 方得x=2 ,如果x换元为2t+1,即(2t+1) 2 =8,能否也用直 接开平方的方法求解呢? (学生分组讨论) 老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么 2t+1=2 即2t 1 +1=2 ,2t 2 +1=-2 方程的两根为t 1 = -
4、,t 2 =- - 【例1】解方程:x 2 +4x+4=1 分析:很清楚,x 2 +4x+4是一个完全平方公式,那么原方 程就转化为(x+2) 2 =1. 解:由已知,得:(x+2) 2 =1 直接开平方,得:x+2=1 即x 1 +2=1,x 2 +2=-1所以,方程的两根x 1 =-1,x 2 =-3 【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的 10m 2 提高到14.4m 2 ,求每年人均住房面积增长率. 分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房 面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该 是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x) 2 解:
5、设每年人均住房面积增长率为x, 则:10(1+x) 2 =14.4 (1+x) 2 =1.44 直接开平方,得1+x=1.2 即1+x 1 =1.2,1+x 2 =-1.2 所以,方程的两根是x 1 =0.2=20%,x 2 =-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x 2 =- 2.2应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为20%. (学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共 同特点是什么? 共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个 一元一次方程,即“降次转化思想”. 三、巩固练习教材P 6练习. 四、能力展示 某公司一月份营业额为2万元,第一季度总营业额为
6、6.62万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少? 五、总结提升 本节课应掌握: 由应用直接开平方法解形如x 2 =p(p0),那么x= 转 化为应用直接开平方法解形如(mx+n) 2 =p(p0),那么 mx+n= ,达到降次转化之目的. 六、布置作业 教材P 16习题21.2 1、2. 第2课时 配方法 教学内容 通过变形运用开平方法降次解方程. 教学目标 理解通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用 它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x 2 =p(p0)或(mx+n) 2 =p(p0)的 一元二次方程的解和不能直接化成上面两种形式的解题步 骤. 教学重难点 重点:讲清“直接
7、降次有困难,如x 2 +6x-16=0的一元二 次方程的解题步骤”. 难点:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的 “化为”的转化方法与技巧. 教学过程 一、教师导学 (学生活动)请同学们解下列方程 (1)3x 2 -1=5 (2)4(x-1) 2 -9=0 (3)4x 2 +16x+16=9 老师点评:上面的方程都能化成x 2 =p或(mx+n) 2 =p(p0)的 形式,那么可得 x= 或mx+n= (p0). 如:4x 2 +16x+16=(2x+4) 2 二、合作与探究 列出下面问题的方程并回答: (1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程 有什么不同呢?(2)能否直接用上面
8、三个方程的解法呢? 问题:如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同 样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相 同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为500m 2 ,道路的宽为 多少? 解:设道路的宽为x,则可列方程:(20-x)(32-2x)=500 整理,得:x 2 -36x+70=0 (1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题 不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后一个不 具有. (2)不能. 既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它 转化为可直接降次解方程的方程 【例1】解方程:x 2 -36x+70=0. 老师点评:x 2 -36x=-70,
9、x 2 -36x+18 2 =-70+324,(x-18) 2 =254, x-18= ,x 1 -18= 或x 2 -18=- ,x 1 34,x 2 2. 可以验证x 1 34,x 2 2都是原方程的根,但x34不合 题意,所以道路的宽应为2.【例2】解下列关于x的方程 2x 2 -4x-1=0 解:x 2 -2x- =0 x 2 -2x= x 2 -2x+1 2 = +1 (x-1) 2 = x-1= 即x 1 -1= ,x 2 -1=- x 1 =1+ ,x 2 =1- 可以验证:x 1 =1+ ,x 2 =1- 都是方程的根. 像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二 次方程
10、的方法,叫配方法. 三、巩固练习 教材P 9练习1 2.(1)、(2). 四、能力展示如图,在RtACB中,C=90,AC=8m,BC=6m,点P、Q 同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动, 它们的速度都是1m/s,几秒后PCQ的面积为RtACB面积 的一半. 五、总结提升 本节课应掌握: 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤. 六、布置作业 教材P 17习题21.2 3. 21.2.2 公式法 第1课时 一元二次方程根的判别式 教学内容 一元二次方程根的判别式,即=b 2 -4ac. 教学目标 1.熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况; 2.会根据方程的根的情况确定
11、方程中一个字母系数的 取值范围. 教学重难点1.运用判别式求出符合题意的字母的取值范围; 2.运用判别式判别一元二次方程根的情况. 教学过程 一、教师导学 对于一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a0)的根的判别式,我 们知道=b 2 -4ac.当0时,方程有两个不等的实数根; =0时,方程有两个相等的实数根;0,即-12k+10,k0,即0. 所以无论m取何值,方程有两个不相等的实数根. 说明:此类题目要先把方程化成一般形式,再计算出, 如果不能直接判断情况,就利有配方法把配成含有完全平方的形式,根据完全平方的非负性,判断的情况,从 而证明出方程根的情况. 三、巩固练习 1.不解方程,判别
12、方程 x 2 -4x+8=0的根的情况; 2.关于x的一元二次方程mx 2 -(3m-1)x+2m-1=0,其根的 判别式为1,求m的值及该方程的根; 3.已知m为非负整数,且关于x的方程(m-2)x 2 -(2m-3) x+m+2=0有两个实数根,求m的值.四、总结提升 本节课应掌握: 一元二次方程根的判别式的定义及其运用,为后面学习 用公式法解一元二次方程打好基础. 五、布置作业 教材P 17 习题21.2 4、12、13 第2课时 公式法 教学内容 1.一元二次方程求根公式的推导过程; 2.公式法的概念; 3.利用公式法解一元二次方程. 教学目标1.知识与技能:理解一元二次方程求根公式的
13、推导过程,了 解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程. 2.过程与方法:复习具体数字的一元二次方程配方法的 解题过程,引入ax 2 +bx+c=0(a0)的求根公式的推导公式, 并应用公式法解一元二次方程. 教学重难点 重点:求根公式的推导和公式法的应用. 难点:一元二次方程求根公式法的推导. 教学过程 一、教师导学 (学生活动)用配方法解下列方程 (1)6x 2 -7x+1=0 (2)4x 2 -3x=52 老师点评:(1)移项,得:6x 2 -7x=-1; 二次项系数化为1,得:x 2 - x=- ; 配方,得:x 2 - x+( ) 2 =- +( ) 2 ; (x- ) 2 =
14、 ;x- = ; x 1 = + = =1; x 2 =- + = = . (2)略 总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师 点评). (1)移项; (2)化二次项系数为1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; (4)原方程变形为(x+m) 2 =n的形式; (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的 解,如果右边是负数,则一元二次方程无解. 二、合作与探究 如果这个一元二次方程是一般形式ax 2 +bx+c=0(a0), 你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完 成下面这个问题. 问题:已知ax 2 +bx+c=0(a0)且b 2 -4ac0,试推导它的两个根x 1 = ,x 2 = 分析:因为前面系数是具体数字方程已做得很多,我们 现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题 步骤就可以一直推下去. 解:移项,得:ax 2 +bx=-c 二次项系数化为1,得x 2 + x=- ; 配方,得:x 2 + x+( ) 2 =- +( ) 2 ; 即(x+ ) 2 = ; b 2 -4ac0且4a 2 0; 0; 直接开平方,得:x+ = ; 即x= ; x 1 = ,x 2 = 由上可知,一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a0)的根由方程 的系数a、b、c而定,因此:
