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1、 数学建模牧羊人的希望问题：一个牧羊人拥有 xm 2 的牧场,他满怀憧憬地做今后几年的计划， 希望能获得满意的收获，他要考虑以下问题： 1） 他应该饲养多少只羊？ 2） 夏季应存储多少干草用作冬季饲料？ 3） 为了繁殖，每年应该保留多大比例的母羊？ 下面是低洼地的某一类草(多年生黑麦草)的近似平均生长率： 季节 冬季 春季 夏季 秋季 日生长率/g 0 3 7 4 一般母羊的生育期是58年,每年产一头,两头或三头.如果每只母羊 仅喂养5年就出售,下面是一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数：年龄/年 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 生产羊羔/ 头 0 1.8 2.4 2.0 1.8 在一
2、年里每头羊所需饲料的平均饲养量为： 日需草量/kg 羊羔 母羊 冬季 0 2.10 春季 1.00 2.40 夏季 1.65 1.15 秋季 0 1.35问题分析：这是个关于资源分配的优化问题即以固定的资源经过合 理分配获得最大利润。在本问题中，我们的目标是合理分配所拥有 的牧场及草料养羊，合理分配养羊羔、母羊的数目和比例及草料存 储使牧羊人在今后n年中获得的总利润最大。而获得的利润受到养 羊的成本、卖羊羔和母羊的数量、市场供求关系等因素的影响。初 步分析：如果每年都获得当年的最大利润，则总利润必达到最大化。 现在考虑养殖达到的稳定状态即草料、场地等正好得到充分利用， 则每年获得利润必达到最大
3、，也是养殖追求最大利润的最理想状态。 而合理的配置所拥有的资源，可以提高牧场的产量，增加经济效益； 保持年龄结构的稳定，则可以保持整个羊群数量的稳定。于是我们 下面就着手建立模型求解稳定状态的母羊、羊羔数目及比例和夏季 的储草情况。由于原型中有太多的影响因素，为了建立模型求解， 必须要删繁从简，留主去次，综合考虑作出以下假设： 模型假设：1.仅考虑养殖所需的饲草供给条件，圈舍、配合饲料、给水、 饲养费用等其他养殖条件忽略不计。2设全部用于养殖的土地均为生长着多年生黑麦草的低洼地， 牧场规模保持不变，不考虑天气等偶然因素对黑麦草生长的影响， 且牧场对草的供应是持续可靠的，而不考虑种植问题。经查资
4、料得 知相邻两株黑麦草的种植间距为15-25cm之间，取20cm计算知每平方米可种植36株黑麦草。这里就考虑每平方米种植36株黑麦草。 3除去冬季外均进行野外放牧，因天气不能野外放牧忽略不 计，而冬季食用其他季节存储的干草作饲料。牧羊人预先储备了适 量干草Qkg，当春天的鲜草不够时，可以使用上一年剩余的干草。4.鲜草与干草均具有相同的喂养效果。经查资料，得知鲜草向 干草的转化率为45%。5.母羊仅在春天繁殖，且一年仅繁殖一次。6.羊的售出仅在春季繁殖过后进行（即繁殖后立即决定售出情 况，这样可保证羊的总数不变，且处理仍在春季） ，其他季节不售 出。7.假设稳定态的羊共N只，则春季考虑N只全为母
5、羊的食草量， 相邻两代的羊数量在繁殖售出前后的数量变化是连续的，即繁殖售 出后i代羊数量为繁殖前i+1代的羊数量（因稳定状态要保持羊数 目及比例不变，而在春季一只羊羔平均食草量小于一只母羊的平均 食草量，由假设6有：母羊繁殖后就处理母羊或小羊，因此这样假 设就保证了春季草量的充足且由假设可知这样的假设和实际食草量 可认为近似吻合） 。8.草的日生长量(g)是指每株草的日生长量。9.该牧民尽量避免近亲繁殖，且只饲养母羊和母羊羔。10.需要配种时，可以外配，配种成本忽略不计。11.母羊所产羊羔的性别比，从概率角度一般认定为1：1，根据假设9，公羊羔全部被卖出。12.羊的成长无恙，即不考虑死亡等偶然
6、因素。13.0-1年的羊为羊羔,1-2,2-3,3-4,4-5年的羊分别为第一， 二，三，四代母羊。14.第一年只购买第一，第二，第三，第四代母羊，并且当年 春季就能繁殖出羊羔（羊羔不能繁殖，买的母羊繁殖出的羊羔还要 售出一部分，所以羊羔就可不用考虑购买，这样不仅省了一部分资 金买母羊繁殖，还省了买的羊羔白吃的草料） 。15.第四代母羊在春季繁殖后直接就全部售出（因每只母羊仅 喂养5年就出售，繁殖后就售出，这样就节省了第四代母羊从繁殖 后到第二年春季的草料） 。16.羊市场稳定，且只关心羊的数量及年代，而不关心它们的 重量，每只羊羔价格p元和每只母羊的价格q元都稳定，经查资料 知p:q近似为1
7、:3，这里认为比例就为1:3，假定羊的价格仅有这 两种。17.羊的繁殖率按上述表格中的平均繁殖率，食草量及草的生 长率亦按表格给出的平均率计算（由假设4的鲜草向干草的转化折 扣以及夏季将有三分之二的鲜草剩余，经计算知仅将夏季的剩余鲜 草晒制为干草是不够的，所以秋季的剩余草也要进行干化。这也说 明了从春季开始饲养的合理性） 。模型建立： 设开始牧羊人购买第一代、第二代、第三代、第四代母羊的数量分 别为a1、a2、a3、a4头，为保证羊群的相对稳定，则春季售羊后 相应的羊羔、第一代、第二代、第三代数量分别为a1、a2、a3、a4 头，且有a1=a2=a3=a4=0，于是同年春季羊繁殖前及售后有以
8、下关系：母羊羔 第一代 第二代 第三代 第四代 繁殖前 0 a1 a2 a3 a4母羊羔 第一代 第二代 第三代 第四代 羊售后 a1 a2 a3 a4 0每年售出羊羔： 1.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4- a1=0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4 （注：公羊羔全售出，保留a1头母羊羔） 第一代：a1-a2第二代：a2-a3第三代：a3-a4第四代：a4 养羊数量:N=a1+a2+a3+a4 目标函数：收益Y=n(0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4)p+a1q且满足：Q+S春-T春=0 w1=S夏-T夏=0w2=S秋-T秋=0Q=k(w1+w2)-T冬=0p:q=1:
9、30.9a1+1.2a2+a3+0.9a4=a1a1=a2=a3=a4=0 其中:S春=36*3x*0.001*90=9.72x kg 春季鲜草产量T春=2.4（a1+a2+a3+a4）*90 kg 春季所需草料S夏=7*36x*0.001*90=22.68x kg 夏季鲜草产量T夏=1.65a1+1.15(a2+a3+a4)*90 kg 夏季所需草料S秋=4*36x*0.001*90=12.96x kg 秋季鲜草产量 T秋=1.35(a2+a3+a4)*90 kg 秋季所需草料T冬=2.1(a2+a3+a4)*90 kg 冬季所需草料w1为夏季剩余鲜草量，w2为秋季剩余鲜草量 p为每只羊羔的
10、价格，q为每只母羊的价格Q为牧羊人初始准备的干草量n为牧羊人计划的年数，x为牧场面积a1=a2=a3=a4=0，且均取整数鲜草向干草的转化率k=0.45 化简整理得:n年总收益：Y=n(0.8a1+2.4a2+a3+1.8a4)p+a1q 制约条件为：25.758x-282.825a1-506.25(a2+a3+a4)=0w1=22.68x-148.5a1-103.5(a2+a3+a4)=0w2=12.96x-121.5(a2+a3+a4)=016.038x-66.825a1-290.25(a2+a3+a4)=00.1a1-1.2a2-a3-0.9a4=a2=a3=a4=0,且均取整数 各个量
11、含义及其性质如上所述。 由此得到基本模型： MAX Y=n(0.8a1+2.4a2+a3+1.8a4)p+a1q.(1) s.t. 9.72x+Q-216(a1+a2+a3+a4)=0 .(2) 22.68x-148.5a1-103.5(a2+a3+a4)=0 .(3) 12.96x-121.5(a2+a3+a4)=0 .(4) Q=16.038x-66.825a1-290.25(a2+a3+a4)=0 .(5) 0.1a1-1.2a2-a3-0.9a4-a0=a2=a3=a4=0,且均取整数 .(7) 模型求解: 软件实现：不妨取定x=10000平方米，n=10年，p=200元，q=600元
12、 用LINDO 6.1版本软件求解，在其窗口中打开一个新文件，直接输 入：max 7600a1+4800a2+2000a3+3600a4 s.t. 1) 282.825a1+506.25a2+506.25a3+506.25a4=07)a2-a3=0 8)a3-a4=0endgin 4注：最后一行“gin 4”是“4个变量均为整数”的说明语句。求解得到输出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 47OBJECTIVE VALUE = 11547494.0FIX ALL VARS.( 2) WITH RC 0.000000E+00 SET A1 TO = 121 AT 2, BND= 0.1155E+08 TWIN= 0.1152E+08 57SET A1 TO = 123 AT 4 WITH BND= 11546145.SET A1 TO = 1441 AT 6, BND= 0.1155E+08 TWIN=-0.1000E+31 67SET A2 TO = 123 AT 7, BND= 0.1154E+08 TWIN=-0.1000E+31 68DELETE A2 AT LEVEL 7DELETE A1 AT LEVEL 6
