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1、海淀期中文科 18. (本小题满分 14分) 已知函数 . 1 ( ) e x ax f x ()当 时,求函数 的单调区间; 1 a ( ) f x ()当 时,求函数 在区间 上的最小值. 0 a ( ) f x 0,1答案 18.(本小题满分 14分) 解:()当 时, , 1 a 1 ( ) e x x f x x R 所以 ,-2 分 2 ( ) e x x f x 由 得 . -1 分 ( ) 0 f x 2 x 随 的变化如下: ( ), ( ) f x f x x x ( ,2) 2 (2, ) ( ) f x + 0 ( ) f x 极大值 -2 分 所以 的单调递增区间为
2、,单调递减区间为 .-1 分 ( ) f x ( ,2) (2, ) ()由 得 1 ( ) e x ax f x , .-1 分 1 ( ) e x ax a f x 0,1 x 令 ,因为 ,解得 .-1 分 ( ) 0 f x 0 a 1 1 1 x a 当 时,即 时, 对 恒成立, 1 1 0 a 1 0 a ( ) 0 f x 0,1 x 所以 在 上单调递增,-1 分 ( ) f x 0,1 所以 ;-1 分 min ( ) (0) 1 f x f 当 时,即 时, 在 上的情况如下: 1 0 1 1 a 1 a ( ), ( ) f x f x 0,1 x 0 1 (0,1 )
3、 a 1 1 a 1 (1 ,1) a 1 ( ) f x 0 + ( ) f x 极小值 -2 分 所以 , -1 分 min 1 1 1 ( ) (1 ) e a a f x f a 综上,当 时, ;当 时, .-1 分 1 0 a min ( ) 1 f x 1 a min 1 1 ( ) e a a f x 海淀期中理科 19. (本小题满分 14分) 已知函数 2 ( ) e ( ) x f x x ax a . ()求 ( ) f x 的单调区间; ()求证:当 4 a 时,函数 ( ) f x 存在最小值.海淀期末理科 已知函数 . ( ) ln 1 a f x x x ()若
4、曲线 存在斜率为 的切线,求实数 的取值范围; ( ) y f x 1 a ()求 的单调区间; ( ) f x ()设函数 ,求证:当 时, 在 上存在极小值. ( ) ln x a g x x 1 0 a ( ) g x (1, ) 答案 19. (本小题满分 14分) 解:()由 得 ( ) ln 1 a f x x x . 2 2 1 ( ) ( 0) a x a f x x x x x 由已知曲线 存在斜率为 的切线, ( ) y f x 1 所以 存在大于零的实数根, ( ) 1 f x 即 存在大于零的实数根, 2 0 x x a 因为 在 时单调递增, 2 y x x a 0
5、x 所以实数 的取值范围 . a 0 (- ,) ()由 , , 可得 2 ( ) x a f x x 0 x a R 当 时, ,所以函数 的增区间为 ; 0 a ( ) 0 f x ( ) f x (0, ) 当 时,若 , ,若 , , 0 a ( , ) x a ( ) 0 f x (0, ) x a ( ) 0 f x 所以此时函数 的增区间为 ,减区间为 . ( ) f x ( , ) a (0, ) a ()由 及题设得 , ( ) ln x a g x x 2 2 ln 1 ( ( ) (ln ) (ln ) a x f x x g x x x ) 由 可得 ,由()可知函数
6、在 上递增, 1 0 a 0 1 a ( ) f x ( , ) a 所以 , (1) 1 0 f a 取 ,显然 , e x e 1 , (e) ln e 1 0 e a a f e 所以存在 满足 ,即 0 (1,e) x 0 ( ) 0 f x 存在 满足 , 0 (1,e) x 0 ( ) 0 g x 所以 在区间 上的情况如下: ( ), ( ) g x g x (1, ) x 0 (1, ) x 0 x 0 ( , ) x ( ) g x 0 ( ) g x 极小 所以当 时, 在 上存在极小值. 1 0 a ( ) g x (1, ) (本题所取的特殊值不唯一,注意到 ) ,因此
7、只需要 即可) 0( 1) a x x 0 ln 1 x 海淀一模 18.(本小题满分 13分) 已知函数 ,其中实数 . 2 ( ) 2 4( 1)ln( 1) f x x ax a x 3 a ()判断 是否为函数 的极值点,并说明理由; 1 x ( ) f x ()若 在区间 上恒成立,求 的取值范围. ( ) 0 f x 0,1 a答案 18.(本小题满分 13分) 解:法 1: ()由 可得 2 ( ) 2 4( 1)ln( 1) f x x ax a x 函数定义域为 , ( 1, ) 4( 1) ( ) 2 2 1 a f x x a x 2 2 (1 ) ( 2) 1 x a
8、x a x , 2( 1) ( 2) 1 x x a x 由 得 . ( ) 0 f x 1 2 1, 2 x x a 因为 ,所以 . 3 a 2 1 a 当 时, ,所以 的变化如下表: 1 a 2 1 a ( ) ( ) f x f x , x ( 1,1) 1 (1, ) ( ) f x 0 ( ) f x 极小值 当 时, , 1 3 a 1 2 1 a 的变化如下表: ( ) ( ) f x f x , x ( 1, 2) a 2 a ( 2,1) a 1 (1, ) ( ) f x 0 0 ( ) f x 极大值 极小值 综上, 是函数 的极值点,且为极小值点. 1 x ( )
9、f x()易知 , (0)=0 f 由()可知, 当 时,函数 在区间 上单调递减, 2 a ( ) f x 0,1 所以有 恒成立; ( ) 0 f x 当 时,函数 在区间 上单调递增, 2 3 a ( ) f x 0, 2 a 所以 ,所以不等式不能恒成立; ( 2) (0) 0 f a f 所以 时有 在区间 上恒成立. 2 a ( ) 0 f x 0,1 法 2: ()由 可得 2 ( ) 2 4( 1)ln( 1) f x x ax a x 函数定义域为 , ( 1, ) 4( 1) ( ) 2 2 1 a f x x a x 2 2 (1 ) ( 2) 1 x a x a x 令
10、 ,经验证 , 2 ( ) (1 ) ( 2) g x x a x a (1) 0 g 因为 ,所以 的判别式 , 3 a ( ) 0 g x 2 2 2 (1 ) 4( 2) 6 9 ( 3) 0 a a a a a 说明:写明 也可以 2 2 2 (1 ) 4( 2) 6 9 ( 3) 0 a a a a a 由二次函数性质可得,1是 的异号零点, 2 ( ) (1 ) ( 2) g x x a x a 所以 1是 的异号零点, ( ) f x 所以 是函数 的极值点. 1 x ( ) f x ()易知 , (0)=0 f 因为 , 2( 1) ( 2) ( ) 1 x x a f x x
11、 又因为 ,所以 , 3 a 2 1 a 所以当 时,在区间 上 ,所以函数 单调递减, 2 a 0,1 ( ) 0 f x ( ) f x所以有 恒成立; ( ) 0 f x 当 时,在区间 上 ,所以函数 单调递增, 2 3 a 0, 2 a ( ) 0 f x ( ) f x 所以 ,所以不等式不能恒成立; ( 2) (0) 0 f a f 所以 时有 在区间 上恒成立. 2 a ( ) 0 f x 0,1海淀二模 19.(本小题满分 13分) 已知函数 . ( ) e ax f x x ()若曲线 在 处的切线 与直线 垂直,求 的值; ( ) y f x (0, (0) f l 2 3 0 x y a ()当 时,求证:存在实数 使 . 1 a 0 x 0 ( ) 1 f x 答案 19.(本小题满分 13分) 解: () , ( ) e 1 ax f x a 因为曲线 在 处的切线与直线 垂直, ( ) y f x (0, (0) f 2 3 0 x y 所以切线 的斜率为 2, l 所以 , (0) 2 f 所以 . 3 a ()法1:当 时,显然有 ,即存在实数 使 ; 0 a (1) e 1 0 1 a f 0 x 0 ( ) 1 f x 当 时,由 可得 , 0, 1 a a ( ) 0 f x 1 1 ln