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1、海淀期中文科 18. （本小题满分 14分） 已知函数 . 1 ( ) e x ax f x （）当 时，求函数 的单调区间； 1 a ( ) f x （）当 时，求函数 在区间 上的最小值. 0 a ( ) f x 0,1答案 18.（本小题满分 14分） 解：（）当 时， ， 1 a 1 ( ) e x x f x x R 所以 ，-2 分 2 ( ) e x x f x 由 得 . -1 分 ( ) 0 f x 2 x 随 的变化如下： ( ), ( ) f x f x x x ( ,2) 2 (2, ) ( ) f x + 0 ( ) f x 极大值 -2 分 所以 的单调递增区间为
2、，单调递减区间为 .-1 分 ( ) f x ( ,2) (2, ) （）由 得 1 ( ) e x ax f x , .-1 分 1 ( ) e x ax a f x 0,1 x 令 ，因为 ，解得 .-1 分 ( ) 0 f x 0 a 1 1 1 x a 当 时，即 时， 对 恒成立， 1 1 0 a 1 0 a ( ) 0 f x 0,1 x 所以 在 上单调递增，-1 分 ( ) f x 0,1 所以 ;-1 分 min ( ) (0) 1 f x f 当 时，即 时， 在 上的情况如下： 1 0 1 1 a 1 a ( ), ( ) f x f x 0,1 x 0 1 (0,1 )
3、 a 1 1 a 1 (1 ,1) a 1 ( ) f x 0 + ( ) f x 极小值 -2 分 所以 ， -1 分 min 1 1 1 ( ) (1 ) e a a f x f a 综上，当 时， ；当 时， .-1 分 1 0 a min ( ) 1 f x 1 a min 1 1 ( ) e a a f x 海淀期中理科 19. （本小题满分 14分） 已知函数 2 ( ) e ( ) x f x x ax a . （）求 ( ) f x 的单调区间； （）求证：当 4 a 时，函数 ( ) f x 存在最小值.海淀期末理科 已知函数 . ( ) ln 1 a f x x x （）若
4、曲线 存在斜率为 的切线，求实数 的取值范围； ( ) y f x 1 a （）求 的单调区间； ( ) f x （）设函数 ，求证：当 时， 在 上存在极小值. ( ) ln x a g x x 1 0 a ( ) g x (1, ) 答案 19. （本小题满分 14分） 解：（）由 得 ( ) ln 1 a f x x x . 2 2 1 ( ) ( 0) a x a f x x x x x 由已知曲线 存在斜率为 的切线， ( ) y f x 1 所以 存在大于零的实数根， ( ) 1 f x 即 存在大于零的实数根， 2 0 x x a 因为 在 时单调递增， 2 y x x a 0
5、x 所以实数 的取值范围 . a 0 （- ，） （）由 ， ， 可得 2 ( ) x a f x x 0 x a R 当 时， ，所以函数 的增区间为 ； 0 a ( ) 0 f x ( ) f x (0, ) 当 时，若 ， ，若 ， ， 0 a ( , ) x a ( ) 0 f x (0, ) x a ( ) 0 f x 所以此时函数 的增区间为 ，减区间为 . ( ) f x ( , ) a (0, ) a （）由 及题设得 ， ( ) ln x a g x x 2 2 ln 1 ( ( ) (ln ) (ln ) a x f x x g x x x ） 由 可得 ，由()可知函数
6、在 上递增， 1 0 a 0 1 a ( ) f x ( , ) a 所以 ， (1) 1 0 f a 取 ，显然 ， e x e 1 ， (e) ln e 1 0 e a a f e 所以存在 满足 ，即 0 (1,e) x 0 ( ) 0 f x 存在 满足 ， 0 (1,e) x 0 ( ) 0 g x 所以 在区间 上的情况如下： ( ), ( ) g x g x (1, ) x 0 (1, ) x 0 x 0 ( , ) x ( ) g x 0 ( ) g x 极小 所以当 时， 在 上存在极小值. 1 0 a ( ) g x (1, ) （本题所取的特殊值不唯一，注意到 ） ，因此
7、只需要 即可） 0( 1) a x x 0 ln 1 x 海淀一模 18.（本小题满分 13分） 已知函数 ，其中实数 . 2 ( ) 2 4( 1)ln( 1) f x x ax a x 3 a （）判断 是否为函数 的极值点，并说明理由； 1 x ( ) f x （）若 在区间 上恒成立，求 的取值范围. ( ) 0 f x 0,1 a答案 18.（本小题满分 13分） 解：法 1： （）由 可得 2 ( ) 2 4( 1)ln( 1) f x x ax a x 函数定义域为 ， ( 1, ) 4( 1) ( ) 2 2 1 a f x x a x 2 2 (1 ) ( 2) 1 x a
8、x a x , 2( 1) ( 2) 1 x x a x 由 得 . ( ) 0 f x 1 2 1, 2 x x a 因为 ，所以 . 3 a 2 1 a 当 时， ，所以 的变化如下表： 1 a 2 1 a ( ) ( ) f x f x ， x ( 1,1) 1 (1, ) ( ) f x 0 ( ) f x 极小值 当 时， ， 1 3 a 1 2 1 a 的变化如下表： ( ) ( ) f x f x ， x ( 1, 2) a 2 a ( 2,1) a 1 (1, ) ( ) f x 0 0 ( ) f x 极大值 极小值 综上， 是函数 的极值点，且为极小值点. 1 x ( )
9、f x（）易知 ， (0)=0 f 由（）可知， 当 时，函数 在区间 上单调递减， 2 a ( ) f x 0,1 所以有 恒成立； ( ) 0 f x 当 时，函数 在区间 上单调递增， 2 3 a ( ) f x 0, 2 a 所以 ，所以不等式不能恒成立； ( 2) (0) 0 f a f 所以 时有 在区间 上恒成立. 2 a ( ) 0 f x 0,1 法 2： （）由 可得 2 ( ) 2 4( 1)ln( 1) f x x ax a x 函数定义域为 ， ( 1, ) 4( 1) ( ) 2 2 1 a f x x a x 2 2 (1 ) ( 2) 1 x a x a x 令
10、 ，经验证 ， 2 ( ) (1 ) ( 2) g x x a x a (1) 0 g 因为 ，所以 的判别式 ， 3 a ( ) 0 g x 2 2 2 (1 ) 4( 2) 6 9 ( 3) 0 a a a a a 说明：写明 也可以 2 2 2 (1 ) 4( 2) 6 9 ( 3) 0 a a a a a 由二次函数性质可得，1是 的异号零点， 2 ( ) (1 ) ( 2) g x x a x a 所以 1是 的异号零点， ( ) f x 所以 是函数 的极值点. 1 x ( ) f x （）易知 ， (0)=0 f 因为 ， 2( 1) ( 2) ( ) 1 x x a f x x
11、 又因为 ，所以 ， 3 a 2 1 a 所以当 时，在区间 上 ，所以函数 单调递减， 2 a 0,1 ( ) 0 f x ( ) f x所以有 恒成立； ( ) 0 f x 当 时，在区间 上 ，所以函数 单调递增， 2 3 a 0, 2 a ( ) 0 f x ( ) f x 所以 ，所以不等式不能恒成立； ( 2) (0) 0 f a f 所以 时有 在区间 上恒成立. 2 a ( ) 0 f x 0,1海淀二模 19.（本小题满分 13分） 已知函数 . ( ) e ax f x x （）若曲线 在 处的切线 与直线 垂直，求 的值； ( ) y f x (0, (0) f l 2 3 0 x y a （）当 时，求证：存在实数 使 . 1 a 0 x 0 ( ) 1 f x 答案 19.（本小题满分 13分） 解： （） ， ( ) e 1 ax f x a 因为曲线 在 处的切线与直线 垂直， ( ) y f x (0, (0) f 2 3 0 x y 所以切线 的斜率为 2， l 所以 ， (0) 2 f 所以 . 3 a （）法1：当 时，显然有 ，即存在实数 使 ； 0 a (1) e 1 0 1 a f 0 x 0 ( ) 1 f x 当 时，由 可得 ， 0, 1 a a ( ) 0 f x 1 1 ln
