《何谓抛物线形状相同》由会员分享，可在线阅读，更多相关《何谓抛物线形状相同（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 何谓抛物线“形状相同”？ 黄家礼 （上海市浦东教育发展研究院 200127） 1问题的提出 有段时间连续接到几位老师的电话，问：何谓抛物线形状相同？如下面几例： 例1 已知二次函数y=a(x+m) 2 的形状和y=2x 2 相同，且顶点坐标为A(-2,0),求二次函数关于 y轴 对称的图形的解析式.(文汇出版社，08年8月版走进新课程九年级数学P78页第8题.该书答案 （P 223 ）：y=2(x-2) 2 ) 例2 一条抛物线与抛物线y=- 有公共顶点，且形状也相同，只是开口方向相反.求此抛物线的 4 2 x 表达式，并画图像.(华东师大2011年6月版一课一练P90,该书答案(P 28
2、9 )： y= ，图略) 4 2 x 例3 某抛物线的形状、大小与抛物线y=2 的形状、大小相同，顶点在（-4，-3） ，那么这条抛 2 x 物线的表达式为 . （华东师大2011年6月版一课一练P99,该书答案(P 290 )： y=2 -3 ） 2 4 x 老师的疑问是：抛物线 与抛物线 形状相同，是表示 还是 c bx x a y 2 1 2 2 x a y 2 1 a a ？若是 ，例2答案错；若表示的是 ，那么例1漏了一解： 2 1 a a 2 1 a a 2 1 a a ，例3也漏了一解：y=-2 -3. 2 ) 2 ( 2 x y 2 4 x 笔者还在初中数学同步学习与辅导 （上
3、海科技教育出版社，2008年版，P157页12题） 、 9年 级（第一学期）数学同步训练与拓展 （原子能出版社，2010年版，P76页第8题） 、 初中数学双基过 关堂堂练 （光明日报出版社，2011年版，P69页第4题）等资料均发现有抛物线“形状相同”的题目. 2教材的说法 北师大版教材对两抛物线形状相同的表述较明确，如该版九年级下册数学教师教学用书(2009 年版)第P55页：“函数 的图象与函数 的图象形状相同” ；P61页：“函数 2 x y 2 x y 的图象与函数 的图象形状相同” ； P62页：“函数 的图象与函数 1 2 2 x y 2 2x y 2 1 3 2 x y 的图象
4、形状相同”.该书从P55页-P64页， “形状相同”这一概念出现了12次. 2 3x y 2 人教版九年级下册数学教师教学用书P11页：把“函数 ， 与函数 1 2 x y 1 2 x y 进行对比，从而得出形状相同” ； P12页：“类似，把函数 ， 2 x y 2 1 2 1 x y 与函数 进行对比，从而得出形状相同”. 2 1 2 1 x y 2 2 1 x y 上海科技版教材九年级（上册,09年6月版）P12也出现有“抛物线 与 的形 k ax y 2 2 ax y 状、开口大小和开口方向相同”的表述. 按北师大版教材，两抛物线 与 形状相同，则 .人教版教材只 c bx x a y
5、 2 1 2 2 x a y 2 1 a a 谈了当 时，其抛物线 与 形状相同.上海科技版与人教版较一致. 2 1 a a c bx x a y 2 1 2 2 x a y 而关于两图形“形状相同”教材还有如下说法： 如人教版九年级教材数学下册（07年10月版）P36页明确指出：“形状相同的图形叫做相似 图形.” 上教版九年级教材数学第一学期（试用本） （10年6月版）P2页：“我们把形状相同的两个 图形说成是相似的图形，或者就说是相似形.” 北师大版(教材八(下)P110)、华东师大版（教材九（上）P42） 、上海科技版教材(教材九（上） P53)都是这样定义的.也就是说“两图形形状相同”
6、与“两图形相似”是同义语. 而任意两个抛物线都是相似的（证明见文） ，那就是说任意两个抛物线都形状相同.既然如此， 那么在 或 的条件下，才有抛物线 与 形状相同的说法就值 2 1 a a 2 1 a a c bx x a y 2 1 2 2 x a y 得商榷. 3.几点思考与建议 数学的核心工作是计算和推理，而计算法则的确立和推理方法的严谨都依赖于思维的正确.史宁中 教授说：“逻辑学的本质告诉我们，在讨论或者研究问题的时候，每一个术语和概念的使用，每一步 计算和推理的进展，都必须经得起最严格的检验.”数学是思维的科学，概念是思维的细胞，没有概 念或概念不清，就无法进行计算、推理和论证.李邦
7、河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技 巧不足道也！”所以正确地理解和使用概念是学好数学的基础！既然教材对两图形“形状相同”有 明确的说法是相似形.那么，对于抛物线，仅就 或 时，说抛物线 2 1 a a 2 1 a a 与 形状相同，概念的内涵和外延都发生了变化，前后说法不一致，自然引 c bx x a y 2 1 2 2 x a y 出矛盾. 鉴于此，对于前面教材和3道例题所述的情况，笔者对其表述提出如下调整方案：3 当 时，抛物线 与 形状的描述，采用“开口大小相同，开口 2 1 a a c bx x a y 2 1 2 2 x a y 方向相同”.它表示两个抛物线通过平移能重
8、合. 当 时，抛物线 与 形状的描述，采用“开口大小相同，开口 2 1 a a c bx x a y 2 1 2 2 x a y 方向相同或相反”.它表示两个抛物线通过平移、翻折能重合. 从变换的角度讲，任意两个抛物线 与 （ ）相似或说 c bx x a y 2 1 2 2 x a y 2 1 一一一一一 a a 它们形状相同，是说它们之间存在一个相似变换；而当 或 时，它们之间存在一个等距 2 1 a a 2 1 a a 变换.这样处理，保证了教材概念体系的一致、严密，也保证与相似理论和变换理论的一致性. 要真正把两个抛物线形状之间的关系说透切，可以借助下面的一张变换的“谱系” （见文）,
9、它 揭示了变换之间其“父母” 、 “子女”及相互关系： 显然，当 时，由抛物线 到抛物线 的变换是平移变换；当 2 1 a a c bx x a y 2 1 2 2 x a y 时，由抛物线 到抛物线 的变换是旋转（或反射）变换.平移、旋转、反射 2 1 a a 2 1 x a y 2 2 x a y 变换都是等距变换.而相似变换除了等距变换外，还有位似变换和旋转相似变换，如对于抛物线 和抛物线 ，当 时. c bx x a y 2 1 2 2 x a y 2 1 a a 以上为一孔之见，不妥之处，请读者批评指正！ 参考文献 张海堂 熊先香，所有的抛物线都相似吗？数理天地高中版，2008年第1
10、1期. 史宁中，数学思想概论（第2辑） ，东北师范大学出版社，2009年版P37页.中心对称中心相似变换旋转平移反射旋转相似变换位似变换等距变换反射等积变换相似变换仿射变换连续变换变换4 李邦河，数的概念的发展，数学通报，2009年8期. HSM考克塞特 SL格雷策，几何学的新探索，北京大学出版社，1986 年版P 117 页. 课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著，义务教育课程标准实验教科书，数学 九年级下册教师教学用书，人民教育出版社，2007年版. 马复，义务教育课程标准实验教科书，数学九年级下册教师教学用书，北京师范大学出版社， 2009年版. 新时代数学编写组，义务教育课程标准实验教科书，数学九年级上册，上海科学技术出版 社，2010年6月版. 邱万作，九年义务教育课本，数学九年级第一学期（试用本） ，上海教育出版社，2010年 6月 版.
