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1、高三数学（文科）试题第1 页（共8 页） 海淀区高三年级2012-2013学年第二学期期中练习数 学 （文科） 2013.4 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 集合 ，则 2 6, 3 0 A x x B x x x N | N | A B I A. B. C. D. 1,2 3,4,5 4,5,6 3,4,5,6 2.等差数列 中, 则 的值为 n a 2 3 4 3, 9, a a a 1 6 aa A. B. C. 21 D.27 14 18 3. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的 值为5，则输出的 值
2、为 x y . B. C. D. 1 2 1 2 1 4. 已知 ，下列函数中，在区间 上一定是减函数的是 0 a (0, ) a. B. ( ) f x ax b 2 ( ) 2 1 f x x ax C. D. ( ) x f x a ( ) log a f x x 5. 不等式组 表示面积为1的直角三角形区域，则 的值为 1, 4 0, 0 x x y kx y k A. B. 1 C. 2 D.3 0 6. 命题 ； 命题 双曲线 的离心率为 . : p , R sin( ) cos : q 0, m 2 2 2 2 1 x y m m 2 则下面结论正确的是 A. 是假命题 B. 是
3、真命题 C. 是假命题 D. 是真命题 p q p q p q 7.已知曲线 在点 处的切线经过点 ，则 的值为 ( ) ln f x x 0 0 ( , ( ) x f x (0, 1) 0 x . B. C. D. 1 e 1 e 10 8. 抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，当 为等边三角形 2 4 y x F P M FPM 时，其面积为 A. B. 4 C. 6 D. 2 3 4 3 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.开始 输出 y 结束 输入 x 2 x x 0 x x y 2 是 否 高三数学（文科）试题第2 页（共8 页） 9. 在
4、复平面上，若复数 （ ）对应的点恰好在实轴上，则 =_. 1+ i b b R b 10.若向量 满足 ，则 的值为_. , a b | | | | | | 1 a b a b a b 11.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为_. 12.在 中，若 ，则 ABC 4, 2, a b 1 cos 4 A _. c 13.已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取 2 2 , 0, ( ) , 0 x a x f x x ax a x a 值范围是_. 14.已知函数 ，任取 ，定义集合: ( ) y f x t R ，点 ， 满足 . 设 分别表示集合 | t A y ( ) y f x (
5、, ( ) P t f t ( , ( ) Q x f x | | 2 PQ , t t M m t A 中元素的最大值和最小值，记 .则 ( ) t t h t M m (1) 若函数 ，则 =_; （2）若函数 ，则 的最小正周期为_. ( ) f x x (1) h ( ) sin 2 f x x ( ) h t 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分） 已知函数 . 2 ( ) 2 ( 3sin cos ) f x x x （）求 的值和 的最小正周期； ( ) 3 f ( ) f x （）求函数在区间 上的最大值
6、和最小值. , 6 3 16. （本小题满分13分） 在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个 科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学 与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人. （I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数； （II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平 均分； （）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取 两人进行访谈，求这两人的两科成绩均
7、为A的概率. 主 主 主 2 4 主 主 主 主 主 主 2 2 2 4 4高三数学（文科）试题第3 页（共8 页） 17. （本小题满分14分） 在四棱锥 中， 平面 ， 是正三角形， P ABCD PA ABCD ABC 与 AC 的交点 恰好是 中点，又 ， ，点 BD M AC 30 CAD o 4 PA AB 在线段 N 上，且 PB 1 3 PN NB （）求证： ； BD PC （）求证： 平面 ； / / MN PDC （）设平面 平面 = ，试问直线 是否与直线 平行， PAB I PCD l l CD 请说明理由. 18. （本小题满分13分） 函数 ,其中实数 为常数.
8、3 1 ( ) 3 f x x kx k (I) 当 时，求函数的单调区间； 4 k (II) 若曲线 与直线 只有一个交点，求实数 的取值范围. ( ) y f x y k k 19. （本小题满分14分） 已知圆 ： ,若椭圆 ： （ ）的右顶点为圆 的圆心，离心率为 M 2 2 7 ( 2) 3 x y C 2 2 2 2 1 x y a b 0 a b M . 2 2 （I）求椭圆 的方程； C （II）已知直线 ： ，若直线 与椭圆 分别交于 ， 两点，与圆 分别交于 ， 两点（其中点 l y kx l C A B M G H 在线段 上） ，且 ，求 的值. G AB AG BH
9、k 20. （本小题满分13分）M D C B A P N高三数学（文科）试题第4 页（共8 页） 设 为平面直角坐标系上的两点，其中 .令 ， ( , ), ( , ) A A B B A x y B x y , , , A A B B x y x y Z B A x x x ，若 ,且 ，则称点 为点 的“相关点” ，记作： . B A y y y x + =3 y | | | | 0 x y B A ( ) B A （）请问：点 的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在， (0,0) 说明理由； （）已知点 ，若点 满足 ，求点 的坐标； (9,3),
10、(5,3) H L M ( ), ( ) M H L M M （）已知 为一个定点，点列 满足： 其中 ，求 0 P 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y x y Z Z i P 1 ( ) , i i P P 1,2,3,., i n 的最小值. 0 n PP 海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （文）20134 参考答案 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A B B D B D 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
11、共30分） 9 0；10 ；11.16； 124；13 ；142,2； 2 1 4 a 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15 （本小题满分13分） 解：（I） 2分 2 3 1 ( ) 2 ( 3 ) 1 3 2 2 f 因为 2 ( ) 2 ( 3sin cos ) f x x x 4分 2 2 2 (3sin cos 2 3sin cos ) x x x x 2 2 (1 2sin 3sin 2 ) x x 6分 2 1 2sin 3sin 2 x x cos2 3sin 2 x x 8分所以 的周期为 9分 = 2sin(2 ) 6 x ( ) f x 2 2 | | 2 T 高
12、三数学（文科）试题第5 页（共8 页） （II）当 时， ， , 6 3 x 2 2 , 3 3 x 5 (2 ) , 6 6 6 x 所以当 时，函数取得最小值 11分 6 x ( ) 1 6 f 当 时，函数取得最大值 13分 6 x ( ) 2 6 f 16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人， 所以该考场有 人2分 10 0.25 40 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为 4分 40 (1 0.375 0.375 0.15 0.025) 40 0.075 3 （II）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 8分 1 (40 0.2)
13、2 (40 0.1) 3 (40 0.375) 4 (40 0.25) 5 (40 0.075) 2.9 40 （）因为两科考试中，共有 6 人得分等级为 A，又恰有两人的两科成绩等级均为 A， 所以还有2人只有一个科目得分为A9分 设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随 机抽取两人进行访谈，基本事件空间为 甲，乙，甲，丙，甲，丁，乙，丙，乙，丁，丙，丁 ,一共有6个基本事件 11分 设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B，所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个， 则 . 13分 1 ( ) 6 P B 17.解：（I）证明：(I) 因为 是正三角形， 是 中点， ABC M AC 所以 ,即 1分 BM AC BD AC 又因为 ， 平面 ， 2分 PA ABCD 平 平 BD ABCD PA BD 又 ，所以 平面 4分 PA AC A I BD PA
