二次函数动点习题

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1、7 2 x B(0, 4) A(6, 0) E F x y O 二次函数动点问题 1.、如图，抛物线 2 2 3 y x x 与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与 抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2 （1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式； （2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y轴的平行线交抛物线于 E 点，求 线段 PE 长度的最大值； （3）点 G 是抛物线上的动点，在 x轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标； 如果不存在，请说明理由 2、如图，对称轴为直

2、线 7 2 x 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点 E（ x， y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x之间的函数关系式， 并写出自变量 x的取值范围；当平行四边形 OEAF 的面积为 24时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱 形？是否存在点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由 3、如图，已知与 x轴交于点 (1 0) A ， 和 (5 0) B ， 的抛物线 1 l 的顶点为 (3 4)

3、C ， ，抛物线 2 l 与 1 l 关于 x轴对 称，顶点为C （1）求抛物线 2 l 的函数关系式； （2）已知原点O，定点 (0 4) D ， ， 2 l 上的点 P与 1 l 上的点 P 始终关于 x轴对 称，则当点 P运动到何处时，以点 D O P P ， 为顶点的四边形是平行四边形？ （3）在 2 l 上是否存在点 M ，使 ABM 是以 AB 为斜边且一个角为30 o 的直 角三角形？若存，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 4、已知二次函数 的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，- 2 y ax bx c 3) (1)求此函数的解析式及图象的对称轴； (2)点P

4、从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q 从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另 一个也随之停止运动设运动时间为t秒 A 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C 1 O 2 l 1 l x y x y O A B C P Q M N当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形； 设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为 S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小 值 5、如图，在直角坐标系 中，正方形OCBA的顶点A、C分别在

5、 轴、 xoy y 轴上，点B坐标为（6，6），抛物线 经过点A、B两点， x 2 y ax bx c 且 3 1 a b （1）求 的值； , , a b c （2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿AB、BC运 动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点F随之停止运动设运动时间为 秒， t EBF的面积为S 试求出S与 之间的函数关系式，并求出S的最大值； t 当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平 行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由 6、抛物线 的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为 2

6、 ( 0) y ax bx c a x=2. (1)求该抛物线的解析式； (2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单 位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动， 问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的 运动速度；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出 所有点M的坐标；若不存在请说明理由. 7、 如图，已知二次函数 y=ax 2 +bx+8（a0）的图像与 x 轴交于点 A（- 2，0），B，与 y 轴交于点

7、C，tanABC=2 （1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标； （2）设直线 CD 交 x 轴于点 E在线段 OB 的垂直平分线上是否 存在点 P，使得经过点 P 的直线 PM 垂直于直线 CD，且与直线 OP 的夹角为x y O H G F E 75？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； 8、如图，抛物线 （ 0）与 y轴交于点 C,与 x轴交于 A 、B 两点，点 A 在 2 3 3 y mx mx m 点 B 的左侧，且 1 tan 3 OCB （1）求此抛物线的解析式； （2）如果点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，设 D 点的横坐 标为 x，ACD 的面积为

8、S，求 S 与 x的关系式，并求当 S 最大时点 D 的坐标； （3）若点 E 在 x轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以 A、C、E、P 为顶点的平行四边形？若存在求点 P 坐标；若不存在，请说 明理由 9、已知：如图，在 EFGH中，点F的坐标是（-2，-1），EFG=45 （1）求点H的坐标; （2）抛物线 经过点 E、G、H,现将 向左平移使之经过点 F，得到 1 C 1 C 抛物线 ,求抛物线 的解析式； 2 C 2 C （3）若抛物线 与 y轴交于点 A，点 P 在抛物线 的对称轴上运动请问： 2 C 2 C 是否存在以 AG 为腰的等腰三角形 AGP？若存在，求出点 P 的坐标；

9、若不存在， 请说明理由 10、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上， 且点 A（0，2），点 C（-1，0），如图所示，抛物线 经过点 B 2 2 y ax ax （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直 角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （8题 图） (备用 图)C(-1,0)A (0,2)BxyO7 2 x B(0,4) A(6,0) E F x y O 答案 1.解：（1）令 y=0，解得 1 1 x 或 2 3

10、 x A（-1，0）B（3，0）； 将 C 点的横坐标 x=2 代入 2 2 3 y x x 得 y=-3，C（2，-3）直线 AC 的函数解析式是 y=- x-1 （2）设 P 点的横坐标为 x（-1x2）则 P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1），E（ 2 ( , 2 3) x x x P 点在 E 点的上方，PE= 2 2 ( 1) ( 2 3) 2 x x x x x 当 1 2 x 时，PE的最大值= 9 4 （3）存在4个这样的点F，分别是 1 2 3 4 (1,0), ( 3,0), (4 7 0), (4 7,0) F F F F ， 2.解：（1）由抛物线的对称轴是 7 2

11、 x ，可设解析式为 2 7 ( ) 2 y a x k 把 A、B 两点坐标代入上式，得 2 2 7 (6 ) 0, 2 7 (0 ) 4. 2 a k a k 解之，得 2 25 , . 3 6 a k 故抛物线解析式为 2 2 7 25 ( ) 3 2 6 y x ，顶点为 7 25 ( , ). 2 6 （2）点 ( , ) E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 2 2 7 25 ( ) 3 2 6 y x ， y0,y 表示点E到OA的距离OA 是 OEAF Y 的对角线， 2 1 7 2 2 6 4( ) 25 2 2 OAE S S OA y y V 因为抛物线与 x

12、轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 x的 取值范围是1 x6 根据题意，当S = 24时，即 2 7 4( ) 25 24 2 x 化简，得 2 7 1 ( ) . 2 4 x 解之，得 1 2 3, 4. x x 5 4 3 2 1 1 2 3 D 5 5 4 3 2 1 A C E M B C 1 O 2 l 1 l x y 故所求的点 E 有两个，分别为 E 1 （3，4），E 2 （4，4） 点 E 1 （3，4）满足OE = AE，所以 OEAF Y 是菱形； 点 E 2 （4，4）不满足OE = AE，所以 OEAF Y 不是菱形 当 OAEF，且 OA = EF

13、时， OEAF Y 是正方形，此时点 E 的 坐标只能是（3，3）而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E， 使 OEAF Y 为正方形 3.解：（1）由题意知点C 的坐标为 (3 4) ， 设 2 l 的函数 关系式为 2 ( 3) 4 y a x 又Q点 (1 0) A ， 在抛物线 2 ( 3) 4 y a x 上， 2 (1 3) 4 0 a ，解得 1 a 抛物线 2 l 的函数关系式为 2 ( 3) 4 y x （或 2 6 5 y x x ） （2） P Q 与 P 始终关于 x轴对称， PP 与 y 轴平行 设点 P的横坐标为 m，则其纵坐标为 2 6 5 m

14、m ， 4 OD Q ， 2 2 6 5 4 m m ，即 2 6 5 2 m m 当 2 6 5 2 m m 时，解得 3 6 m 当 2 6 5 2 m m 时，解得 3 2 m 当点 P运动到 (3 6 2) ， 或 (3 6 2) ， 或 (3 2 2) ， 或 (3 2 2) ， 时， P P OD ，以点 D O P P ， 为顶点的四边形是平行四边形 （3）满足条件的点 M 不存在理由如下：若存在满足条件的点 M 在 2 l 上，则 90 AMB o ， 30 BAM o Q （或 30 ABM o ）， 1 1 4 2 2 2 BM AB 过点 M 作 ME AB 于点 E，可得 30 BME BAM o 1 1 2 1 2 2 EB BM ， 3 EM ， 4 OE 点 M 的坐标为 (4 3) ， 但是，当 4 x 时， 2 4 6 4 5 16 24 5 3 3 y 不存在这样的点 M 构成满足条件的直角三角形 4(1)二次函数 的图象经过点 C(0，-3)， 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C 1 O 2 l 1 l x yc =-3 将点 A(3，0)，B(2，-3)代入 得 解得：a=1，b=-2 -2 分 配方得： ，