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1、1 第一章 习题1 证明 恒等式 e jt ks kt js ist ijk e e 证明 jt ks kt js kt js jt ks jt ks kt js jt ks kt js it js jt is ki it ks kt is ji jt ks kt js ii kt ks ki jt js ji it is ii ist ijk e e 3 3 习题2 证明若 ，则 ji ij ji ij b b a a ; 0 ij ij b a 证明 ， ji ij ji ij b b a a ; Q ji ji ij ij b a b a 0 pq pq ij ij ji ji ij i
2、j b a b a b a b a 又因为所有的指标都是哑指标， ，所以 ，即 ij ij pq pq b a b a 0 2 aijbij 0 ij ij b a 习题 3 已知某一点的应力分量 ， ， ， 不为零，而 ，试求过该点和 z 轴，与 xx yy zz xy 0 yz xz x轴夹角为 的面上的正应力和剪应力。 解 如图 1.1，过该点和 z 轴，与 x轴夹角为 的面的法线，其与 x轴，y轴和 z 轴的方向余弦分别为 cos，sin，0，则由斜面应力公式的分量表达式， ，可求得该面上的应力为 ij i j ) ( sin cos 1 1 ) ( xy xx j j sin cos
3、 2 2 ) ( yy yx j j 0 3 3 j j v ) ( 由斜面正应力表达式 ，可求得正应力为 j i ij n ？ 2 2 sin sin cos 2 cos yy xy xx n 剪应力为 2 cos 2 sin ) ( 2 1 2 2 ) ( ) ( xy xx yy n n n n2 习题4 如已知物体的表面由 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷 0 ) , , ( z y x f 。试写出其边界条件。 z y x p , , 解 物体表面外表面法线的方向余弦为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , cos , cos , cos z y x z z y x
4、 y z y x x f f f f z n n f f f f y n m f f f f x n l 带入应力边界条件， ，得 3 , 2 , 1 , , j i n T j ij i 0 0 0 p f f f f p f f f f p f zz z yy y xz x yz z yy y yx x xz z xy y xx x 习题 5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为 ， ， ， ， ， ，试求该点以柱坐标 xx yy zz xy xz yz 表示的应力分量。 解 如图 1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示： x y z r cos sin 0 -sin cos 0 z 0
5、 0 1 注意 由应力分量转换公式 ，求得 jn i m ij n m cos sin 2 sin cos 2 2 xy yy xx rr cos sin 2 cos sin 2 2 xy yy xx zz zz r xy yy xx r ) sin (cos cos sin cos sin 2 2 z zx yx z sin cos cos sin zx yz zr 利用三角公式可将上面的式子改写为 2 sin 2 cos 2 2 xy yy xx yy xx rr 2 sin 2 cos 2 2 xy yy xx yy xx 3 zz zz 2 cos 2 sin 2 xy yy xx r
6、 z zx yx z sin cos cos sin zx yz zr 习题6 一点的应力状态由应力张量 给定，式中， ， ， 为常数， 是某应力 c b c a b a ij a b c 值，求常数 ， ， ，以使八面体面 上的应力张量为零 a b c ) e e e ( n 3 2 1 3 1 解 由斜面应力公式的分量表达式， ，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组： ij i j ) ( 0 3 1 0 3 1 0 3 1 ) ( , ) ( , ) ( c b c a b a 解得 2 1 c b a 习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力 ， ， 必为实根
7、1 2 3 证明 （1）设任意两个不同的主应力为 、 ，对应的主方向为 、 。根据主应力定义有： k l k n l n ， k k (k) n n k l k l l n n ) ( 将以上两式分别点乘 和 再相减，得 k n l n k l l k k l k n n n n n n n n l k l 是对称应力张量，上式可改写为 l k n n ) ( l k 0 所以应力的三个主方向互相垂直 （2）设任意两个不同的主应力为 、 ，对应的主方向为 、 k l ) , , ( n 1 1 1 n m l k ) , , ( n l 2 2 2 n m l 0 0 2 1 2 1 2 1
8、n n m m l l , n n l k Q 若 为复数，则 为其共轭复数，从而方向余弦 、 互为共轭 1 2 ) , , ( n 1 1 1 n m l k ) , , ( n l 2 2 2 n m l与主方向相互垂直矛盾 0 2 1 2 1 2 1 n n m m l l 所以三个主应力必为实数 习题8 证明球形应力张量 在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为 m m 证明 球形应力张量 ，设任意斜面的方向余弦为 3 3 2 2 1 1 e e e e e e m m m m n m l , , n4 由斜面应力公式 ，得 n (n) 3 2 1 (n) e e e m m m n m
9、l 由斜面正应力公式 ，得 n (n) n m m n n m l ) ( 2 2 2 由斜面剪应力公式，得 0 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( m m n n n n m l n 习题9 求应力偏量张量的不变量 解 应力张量 可分解为球形应力张量 和应力偏量张量 ， m S ) ( 3 1 ( 33 22 11 m 应力偏量张量 ，其主应力方程为 ，即 ) ( ) ( m ij ij ij S S n S n n S ) 3 , 2 , 1 ( 0 ) ( j S S n ij n ij i 上述方程存在非零解 的必要条件是系数行列式为零，即 i n 0 33 32 31
10、 23 22 21 13 12 11 n n n S S S S S S S S S S S S 得到关于 的三次代数方程， n S 0 3 2 2 1 3 J S J S J S n n n 其中 ， 和 分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量 1 J 2 J 3 J 设 ， 和 为应力偏量张量的三个主值 ，则 1 S 2 S 3 S m i i S 0 3 33 22 11 33 22 11 1 m S S S J 1 3 3 2 2 1 2 12 2 31 2 23 11 11 33 33 22 22 21 12 11 33 31 13 11 33 32 23 22 2 22 S S
11、 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S J 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 S S S S S S S S S S S S J 习题11 设 为二阶对称张量，证明由 导出的应力一定满足无体力的平衡方程 rs pm qn jmn ipq ij e e , 证明 又 关于 ， 反对称， 关于 ， 对称 pmj qn jmn ipq j ij e e , , Q j jm e , Q m j pmj qn, m j ，即 满足无体力的平衡方程， 忽略体力下的平 0 , , pmj qn jmn ipq j ij e e pm qn jmn ipq ij e e , 0 , j ij 衡微分方程 习题12 已知直角坐标系中各点的应力张量 ，试求体积力分量 0 2 0 2 0 5 0 5 3 3 3 2 2 2 2 2 1 x x x x x x ij 解 根据平衡微分方程 ，得 对谁偏导的问题 3 , 2 , 1 , , 0 , j i F i j ij 5 0 0 0 z zz zy zx y yz yy yx x xz xy xx F z y x F z y x F z y x 得体积力
