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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（文史类） 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！ 免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1已知全集 ，集合 ， ，则 1,2,3,4,5 U 1,2 A 2,3,4 B U B A I A B C D 2 3,4 1,4,5 2,3,4,5 2已知 ，则双曲线 ： 与 ： 的 0 4 1 C 2 2 2 2 1 sin cos x y 2 C 2 2 2 2 1 cos sin y x A实轴长相等
2、B虚轴长相等 C离心率相等 D焦距相等 3在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题 p是“甲降落在指定范围” ，q是“乙降落在指 定范围” ，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A B C D ( ) p ( ) q p ( ) q ( ) p ( ) q p q 4四名同学根据各自的样本数据研究变量 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 , x y 别得到以下四个结论： y 与 x 负相关且 ； y 与 x 负相关且 ； $ 2.347 6.423 y x $ 3.476 5.648 y x y 与 x 正相关且 ； y 与 x 正相关且 . $ 5.437 8.49
3、3 y x $ 4.326 4.578 y x 其中一定不正确的结论的序号是 A B C D 5小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与 以上事件吻合得最好的图象是 距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 A B C D 时间 时间 时间 时间 O O O O 距学校的距离 6将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对 3 cos sin ( ) y x x x R ( 0) m m 称，则 m 的最小值是 A B C D 12 6 3 5 6 7已知点 、 、 、 ，则向量 在 方向上的投影为 ( 1, 1) A (1
4、, 2) B ( 2, 1) C (3, 4) D AB uuu r CD uuu r A B C D 3 2 2 3 15 2 3 2 2 3 15 2 8x 为实数， 表示不超过 的最大整数，则函数 在 上为 x x ( ) f x x x R A奇函数 B偶函数 C增函数 D 周期函数 9某旅行社租用 、 两种型号的客车安排 900名客人旅行， 、 两种车辆的载客量分别为 36 人和 A B A B 60人，租金分别为 1600元/辆和 2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21辆，且 型车不多于 B 型车 7辆则租金最少为 A A31200 元 B36000 元 C36800 元
5、D38400 元 10已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是 ( ) (ln ) f x x x ax a A B C D ( , 0) 1 (0, ) 2 (0, 1) (0, ) 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置， 书写不清，模棱两可均不得分. 11 为虚数单位，设复数 ， 在复平面内对应的点关于原点对称，若 ，则 . i 1 z 2 z 1 2 3i z 2 z 12某学员在一次射击测试中射靶 10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4 则（）平均命中环数为 ； （）命中环数的标准差为 .
6、 13阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入 的值为 2， 则输出的结果 . m i 否 A A m 1 i i 输入 m 1, 1, 0 A B i 开始 结束 是 ? A B 输出 i 第 13题图 B B i 14已知圆 ： ，直线 ： （ ）.设圆 上到直线 的距离等于 1的点 O 2 2 5 x y l cos sin 1 x y 0 2 O l的个数为 ，则 . k k 15在区间 上随机地取一个数 x，若 x 满足 的概率为 ，则 . 2,4 | | x m 5 6 m 16我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口
7、直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨 量是 寸. （注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸） 17在平面直角坐标系中，若点 的坐标 ， 均为整数，则称点 为格点. 若一个多边形的顶点全 ( , ) P x y x y P 是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为 ，其内部的格点数记为 ，边界上的 S N 格点数记为 . 例如图中 是格点三角形，对应的 ， ， . L ABC 1 S 0 N 4 L （）图中格点四边形 DEFG 对应的 分别是 ； , , S N L （）已知格点多边形的面积可表示为 ，其中 a，b，
8、c 为常数. 若某格点多边形对应的 S aN bL c ， ， 则 （用数值作答）. 71 N 18 L S 三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 （本小题满分 12分） 在 中，角 ， ， 对应的边分别是 ， ， . 已知 . ABC A B C a b c cos 2 3cos( ) 1 A B C （）求角 A 的大小； （）若 的面积 ， ，求 的值. ABC 5 3 S 5 b sin sin B C 19 （本小题满分 13分） 已知 是等比数列 的前 项和， ， ， 成等差数列，且 . n S n a n 4 S 2 S 3
9、S 2 3 4 18 a a a （）求数列 的通项公式； n a （）是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求出符合条件的所有 的集合；若不存在，说明 n 2013 n S n 理由20 （本小题满分 13分） 如图，某地质队自水平地面A，B，C 三处垂直向地下钻探，自 A 点向下钻到A 1 处发现矿藏，再继续下钻 到 A 2 处后下面已无矿，从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 同样可得在 B，C 处正下方的矿层 1 2 1 A A d 厚度分别为 ， ，且 . 过 ， 的中点 ， 且与直线 平行的平面 1 2 2 B B d 1 2 3 C C d 1 2 3 d d d AB AC M N
10、 2 AA 截多面体 所得的截面 为该多面体的一个中截面，其面积记为 1 1 1 2 2 2 A B C A B C DEFG S 中 （）证明：中截面 是梯形； DEFG （）在ABC 中，记 ，BC 边上的高为 ，面积为 . 在估测三角形 区域内正下方的矿藏 BC a h S ABC 储量（即多面体 的体积 ）时，可用近似公式 来估算. 已知 1 1 1 2 2 2 A B C A B C V V S h 中 中 ，试判断 与 V 的大小关系，并加以证明. 1 2 3 1 ( ) 3 V d d d S V 中 第 20题图 21 （本小题满分 13分） 设 ， ，已知函数 . 0 a 0
11、 b ( ) 1 ax b f x x （）当 时，讨论函数 的单调性； a b ( ) f x （）当 时，称 为 、 关于 的加权平均数. 0 x ( ) f x a b x （i）判断 , , 是否成等比数列，并证明 ； (1) f ( ) b f a ( ) b f a ( ) ( ) b b f f a a （ii） 、 的几何平均数记为 G. 称 为 、 的调和平均数，记为 H. 若 ，求 a b 2ab a b a b ( ) H f x G 的取值范围. x22 （本小题满分 14分） 如图，已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ，长轴均为 且在 轴上，短轴长分别 1 C 2 C O
12、 MN x 为 ， ，过原点且不与 轴重合的直线 与 ， 的四个交点按纵坐标从 2m 2 ( ) n m n x l 1 C 2 C 大到小依次为 A，B，C，D记 ， 和 的面积分别为 和 . m n BDM ABN 1 S 2 S （）当直线 与 轴重合时，若 ，求 的值； l y 1 2 S S （）当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ？并说明理由 1 2 S S O x y B A 第 22题图 C D M N2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类）试题参考答案 一、选择题： 1B U B A I . 4 , 3 5 , 4 , 3 4 , 3
13、, 2 I 2D 在双曲线 ： 与 ： 中，都有 ，即焦 1 C 2 2 2 2 1 sin cos x y 2 C 2 2 2 2 1 cos sin y x 1 cos sin 2 2 2 c 距相等 3A 因为 p是“甲降落在指定范围” ，q是“乙降落在指定范围” ，则 是“没有降落在指定范围” ， p 是“乙没有降落在指定范围” ，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 q ( ) p . ( ) q 4D 在 中，y 与 x 不是负相关； 一定不正确；同理 也一定不正确. 1 1 4 5C 可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距
14、学校 的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因 交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常 值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除 D；第三段小明为了赶时间加快速度 行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平 行，从而排除 B. 故选 C. 6B 因为 可化为 （xR） ，将它向左平移 个单位得 3 cos sin ( ) y x x x R ) 6 cos( 2 x y 6 ，其图像关于 y轴对称. x x y cos 2 6 ) 6 ( cos 2
