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1、全国高中数学联赛试卷（2011） 第一试 一、填空题（每小题8分，共64分） 1设集合 ，若 中所有三元子集的三 , , , 4 3 2 1 a a a a A A 个元素之和组成的集合为 ，则集合 8 , 5 , 3 , 1 B A 2函数 的值域为 1 1 ) ( 2 x x x f 3设 为正实数， ， ，则 b a, 2 2 1 1 b a 3 2 ) ( 4 ) ( ab b a b a log 4如果 ， ，那么 的取 ) cos (sin 7 sin cos 3 3 5 5 ) 2 , 0 值范围是 5现安排 7名同学去参加 5个运动项目，要求 甲、乙两同学不能参加同一个项目，每
2、个项目都有人 参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同 安排方案数为 （用数字作答） 6在四面体 中，已知 ， ABCD 60 CDA BDC ADB ， ，则四面体 的外接球的半径为 3 BD AD 2 CD ABCD 7直线 与抛物线 交于 两点， 为 0 1 2 y x x y 4 2 B A, C 抛物线上的一点， ，则点 的坐标为 90 ACB C 8已知 C ，则数列 中整 n a ) 95 , , 2 , 1 ( 2 1 6 200 3 200 L n n n n n a 数项的个数为 二、解答题（本大题共3小题，共56分） 9 （16分）设函数 ，实数 满足 | ) 1
3、lg( | ) ( x x f ) ( , b a b a ， ，求 的值 ) 2 1 ( ) ( b b f a f 2 lg 4 ) 21 6 10 ( b a f b a, 10 （20分）已知数列 满足： R 且 ， n a t t a ( 3 2 1 ) 1 t N 1 2 1 ) 1 ( 2 ) 3 2 ( 1 1 n n n n n n t a t t a t a n ( ) * （1）求数列 的通项公式； n a （2）若 ，试比较 与 的大小 0 t 1 n a n a 11 （本小题满分 20分）作斜率为 的直线 与椭 3 1 l 圆 ： 交于 两点（如图所示） ， C 1
4、 4 36 2 2 y x B A, 且 在直线 的左上方 ) 2 , 2 3 ( P l （1）证明： 的内切圆的圆 PAB 心在一条定直线上； （2）若 ，求 的面积 60 APB PAB 解 答 1 . 提示：显然，在 的所有三元子集中， 3,0,2,6 A 每个元素均出现了 3次，所以 ， 15 8 5 3 ) 1 ( ) ( 3 4 3 2 1 a a a a 故 ，于是集合 的四个元素分别为 5 4 3 2 1 a a a a A y x O P A B5（1）6，532，550，583，因 此，集合 6 , 2 , 0 , 3 A 2 . 提示：设 ，且 ， 2 ( , (1,
5、) 2 U 2 2 , tan x 4 则 设 ，则 ， ) 4 sin( 2 1 cos sin 1 1 tan cos 1 ) ( x f ) 4 sin( 2 u 1 2 u 且 ，所以 0 u ) , 1 ( 2 2 , ( 1 ) ( U u x f 3-1. 提示：由 ，得 又 2 2 1 1 b a ab b a 2 2 ， 2 3 3 2 2 ) ( 8 ) ( 2 4 ) ( 4 4 ) ( 4 ) ( ab ab ab ab ab b a ab b a 即 ab b a 2 2 于是 ab b a 2 2 再由不等式中等号成立的条件，得 与 1 ab 联立解得 或 故 ,
6、1 2 , 1 2 b a , 1 2 , 1 2 b a 1 log b a 4 . 提示：不等式 4 5 , 4 ) cos (sin 7 sin cos 3 3 5 5 等价于 . 5 3 5 3 cos 7 1 cos sin 7 1 sin 又 是 上的增函数，所以 ，故 5 3 7 1 ) ( x x x f ) , ( cos sin Z) k k k ( 4 5 2 4 2 因为 ，所以 的取值范围是 ) 2 , 0 4 5 , 4 515000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有 3人参加，共有 种方案； 3600 ! 5 ! 5 1 5
7、3 7 C C （2）有两个项目各有 2人参加，共有 种方案； 11400 ! 5 ! 5 ) ( 2 1 2 5 2 5 2 7 C C C 所以满足题设要求的方案数为 15000 11400 3600 6 . 提示：设四面体 的外接球球心为 ， 3 ABCD O 则 在过 的外心 且垂直于平面 的垂线上由 O ABD N ABD 题设知， 是正三角形，则点 为 的中 ABD N ABD 心设 分别为 的中点，则 在 上，且 ， M P, CD AB, N DP DP ON CD OM 因为 ，设 与平面 所成角为 60 ADB CDB CDA CD ABD ，可求得 3 2 sin , 3
8、 1 cos 在 中， DMN 3 3 2 3 3 2 3 2 , 1 2 1 DP DN CD DM 由余弦定理得 ， 2 3 1 3 1 2 ) 3 ( 1 2 2 2 MN 故 四边形 的外接圆的直径 2 MN DMON 故球 的半径 3 3 2 2 sin MN OD O 3 R 7 或 提示： 设 ，由 ) 2 , 1 ( ) 6 , 9 ( ) 2 , ( ), , ( ), , ( 2 2 2 1 1 t t C y x B y x A 得 ，则 ， , 4 , 0 1 2 2 x y y x 0 4 8 2 y y 8 2 1 y y 4 2 1 y y A B C D O P
9、 M N又 ，所以 ， 1 2 , 1 2 2 2 1 1 y x y x 18 2 ) ( 2 2 1 2 1 y y x x 1 1 ) ( 2 4 2 1 2 1 2 1 y y y y x x 因为 ，所以 ，即有 90 ACB 0 CB CA ， 0 ) 2 )( 2 ( ) )( ( 2 1 2 2 1 2 y t y t x t x t 即 ， 0 ) ( 2 4 ) ( 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 4 y y t y y t x x t x x t 即 ，即 0 3 16 14 2 4 t t t 0 ) 1 4 )( 3 4 ( 2 2 t t t t 显然 ，否
10、则 ，则点 在直线 0 1 4 2 t t 0 1 2 2 2 t t C 上，从而点 与点 或点 重合所以 ， 0 1 2 y x C A B 0 3 4 2 t t 解得 故所求点 的坐标为 或 3 , 1 2 1 t t C ) 2 , 1 ( ) 6 , 9 ( 815. 提示： C n a 6 5 400 3 200 200 2 3 n n n 要使 为整数，必有 均为整数， ) 95 1 ( n a n 6 5 400 , 3 200 n n 从而 4 | 6 n 当 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时， n 和 均为非负整数，所以 为
11、整数，共有 14 3 200 n 6 5 400 n n a 个 当 时， C ，在 C 中， 中因数 86 n 86 a 5 38 86 200 2 3 ! 114 ! 86 ! 200 86 200 ! 200 2的个数为 ， 197 2 200 2 200 2 200 2 200 2 200 2 200 2 200 7 6 5 4 3 2 同理可计算得 中因数 2的个数为 82， 中因数 2 ! 86 ! 114 的个数为 110，所以 C 中因数 2 的个数为 ， 86 200 5 110 82 197 故 是整数 86 a当 时， C ，在 C 中，同样可求 92 n 92 a 10
12、 36 92 200 2 3 ! 108 ! 92 ! 200 92 200 得 中因数 2的个数为 88, 中因数 2的个数为 105, ! 92 ! 108 故 C 中因数 2的个数为 ，故 不是整数 86 200 4 105 88 197 92 a 因此，整数项的个数为 15 1 14 9因为 ，所以 ) 2 1 ( ) ( b b f a f ， | ) 2 lg( | | ) 2 1 lg( | | ) 1 2 1 lg( | | ) 1 lg( | b b b b a 所以 或 ，又因为 ，所以 ，所 2 1 b a 1 ) 2 )( 1 ( b a b a 2 1 b a 以 1 ) 2 )( 1 ( b a 又由 有意义知 ，从而 | ) 1 lg( | ) ( a a f 1 0 a ， 2 1 1 0 b b a 于是 所 2 1 1 0 b a 以 1 2 10 ) 2 ( 6 ) 2 ( 6 ) 1 ( 10 1 ) 21 6 10
