样本估计总体学案

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1、2.2.2-2 标准差、方差教案 平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片 面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为 176 cm,给我们的印象是该地区的 中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高 较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此, 只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统 计量标准差. 一、 【学习目标】 1、理解标准差、方差的真正含义； 2、会用标准差、方差解决简单的题目. 二、 【自学内容和要求及自学过程】

2、阅读教材内容，回答问题（标准差、方差） 什么是样本平均值？ 什么是样本标准差和方差？结论：样本平均值： n x x x x n L 2 1 样本标准差： n x x x x x x s s n 2 2 2 2 1 2 ) ( ) ( ) ( L 小知识帮您解决大问题 1 o 用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但 从样本得到的信息会有偏差.在随机抽样中，这种偏差是不可避免的.虽然我们用样本数据 得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计， 但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息. 2 o 如果把一组

3、数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变. 如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k，标准差变为原来的 k 倍.一组数 据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间 的应用；“去掉一个最高分， ) 3 , 3 ( s x s x 去掉一个最低分”中的科学道理. 三、 【综合练习与思考探索】 例 1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点. (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 结论：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平

4、均数,利用标准差的计算公 式即可算出每一组数据的标准差. 四组样本数据的条形图如下： 四组数据 的平均数都是 5.0,标准差分 别是：0.00,0.82,1.49,2.83.它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一 样的. 例 2 甲、乙两人同时生产内径为 25.40 mm 的一种零件.为了对两人的生产质量进行评 比,从他们生产的零件中各抽出 20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm): 甲 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44

5、25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高? 结论：每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经 给出( 内径 25.40 mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数 与内径标准尺寸 25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体

6、的平均数与标准尺寸 很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量, 只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是, 这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样 分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、 标准差,以此作为两个总体之间差 异的估计值. 用计算器计算可得 25.401， 25.406;s 甲 0.037,s 乙 0.068. 甲 x 乙 x 从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从 样本标准差看,由于 s 甲

7、 0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.练习题：在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下： 9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差 分别为_. 若给定一组数据x 1 ,x 2 ,x n ,方差为s 2 ,则ax 1 ,ax 2 ,ax n 的方差是_. 在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位： m/s)的数据如下： 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 试判断选谁参加某项重大比赛更合适？ 某养鱼专业户在一个养鱼池放入一

8、批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计 卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业 户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案.某课外活动小组对该市空气含 尘调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位 )（1）求出这组数据的众数和中位数？（2）若国标（国家环保局的标准）是平均值不 3 M G 得超过0.025 ；问这一天城市空气是否符合标准？从甲、乙两种玉米中各抽10株， 3 M G 分别测得它们的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；乙： 27

9、、16、44、27、44、16、40、40、16、40；问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种 玉米的苗长得齐？ 结论：9.5,0.016 a 2 s 2 33， 33， 甲 x 乙 x ,乙的成绩 比甲稳定,应选乙参加比赛更合适. 这个专业户应了解鱼 3 37 3 47 2 2 乙 甲 s s 的总重量,可以先捕出一些鱼（设有 x 条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设 有 a 条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则鱼塘中鱼的总条数 鱼的条数 鱼塘中所有带有标记的 条鱼中带有标记的条数 ) (x a a 这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重

10、量求出来,就可以估计鱼塘中的 平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入.（1）由题知众数是 0.03，中位数为 0.03；（2）这一天数据平均数是 0.030.025 这一天该城市空气不符合国标.分析：看哪 种玉米的苗长得高，只要比较 甲、乙两种玉米的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只 要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波 动大小的特征数.1 = （25+41+4037221419392142） 甲 X 10 1 30； = （27164427441640401640）31， 乙 X 10 1 甲 X 乙 X2 （2）可运算 104.2， 128.8 所以乙种玉米苗长得

11、高，甲种 2 S 甲 2 S 乙 2 S 甲 2 S 乙 玉米的苗长得齐.四、 【作业】1、必做题：习题 2.2A 组 4、5、6、7,B 组 1、2 2、选做题：某地区全体九年级的 3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成 绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了 100名学生的成绩如下：100分 12人,90分 30人, 80分 18人,70分 24人,60分 12人,50分 4人. 请根据以上数据估计该地区 3 000名学生的平均分、合格率（60或 60分以上均属合格）. 五、 【课后练习】 一、选择题 1. 下列说法正确的是： (A)甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明

12、这两个班数学学习情况一样 (B)期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好 (C)期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙 班好 (D)期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙 班好 2. 一组数据的方差是 ，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差 2 s 是（ ） . ； . ； ； 2 2 s 2 2s 2 4s 2 s 二填空题 3. 如果 14：有6个数4，x , 1 ,y , z 6,它们的平均数为5，则x,y,z 三个数的平均 数为_ 4、数据 的平均数为，方差为 中位数为a，则数据 1 2 n x x x ， 2 s 的平均数、标准差、方差、中位数分别为 1 2 3 3 n x x x +5，3 +5，+5 _ 三、解答题 5下面是两个学生的五次英语测试成绩： 甲 98 88 67 59 89 乙 81 85 90 72 73 试用平均数与方差分析两位同学的英语成绩，并说明那一位同学的英语成绩比较稳 定？