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1、111 等离子体中的线性波 1波的相速度与群速度 等离子体中，电场、磁场、速度、密度、压力、 温度等任何一个物理量 一般会随空间和时间变 ( , ) t x 化。原则上它可以分解为各个平面波的叠加，即： * ( ) ( , ) ( , ) i t k t e d d k x x k k MERGEFORMAT 2(1.2) 其中 为波的幅度，是物理量 的 Fourior ( , ) k k ( , ) t x 分解： * ( ) 1 ( , ) ( , ) 2 i t k t e d dt k x k x x MERGEFORMAT 3(1.3) 对于其中任意一支平面波 来说， 为 ( ) (
2、 , ) i t k e k x k k 波矢， 为频率。 波的速度可以用相速度和群速度来描述。相速度 是波在保持相位 不变的情况下的运动速 t k x 度，在此条件下 * ( ) 0 d d kx t dt dt MERGEFORMAT 4(1.4)得到相速度： * MERGEFORMAT p dx v dt k 5(1.5)波的群速度描述波包整体运动的速度，而波包是 由满足一定色散关系的各种频率的波组成。假设该波 包的色散关系为 * MERGEFORMAT ( ) k 6(1.6) 则只有频率满足此关系的波才存在，可以表示为 * ( , ) ( ) ( ( ) k k k k k MERG
3、EFORMAT 7(1.7) 因而由* MERGEFORMAT (1.2) 式积分，在一维情况 下得 * ( ( ) ) ( , ) ( ) i kx k t k x t k e dk MERGEFORMAT 8(1.8) 假设波包的主要波数为 ，对应的频率为 ， 0 k 0 0 ( ) k 近似有： * 0 0 ( ) ( ) g k v k k MERGEFORMAT 9(1.9) 其中* MERGEFORMAT 0 g d v dk 10(1.10) 代入* MERGEFORMAT (1.8)式可得 * 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) g g g
4、ik x v t i k v t k i k v t g x t k e dk e x v t t e MERGEFORMAT 11(1.11) 可见波包的包络以 的速度前进。* g v MERGEFORMAT (1.10) 式给出了波的群速度表达式。波的相速度可以超过光速。但群速度一定不能超 过光速，因为群速度可以传递信息和能量，否则会违 背爱因斯坦的狭义相对论原理。 2波的旋转与偏振 一支波沿 x 方向传播，在 yz 两个垂直方向上，电场 矢量的分量 和 一般可以表示成 和 y E z E ( ) 0 i kx t y E e ，其中 ， ， ， 均为实数。 ( ) 0 i kx t z
5、E e 0 y E 0 z E 圆偏振： 且 时，式中取正号 0 0 y z E E 2 / 2 n 时，是右旋的圆偏振波，取负号时，是左旋的圆偏振 波。线偏振： 时，波是线偏振的，偏振方向与 n Y 轴的角度为 （当 n 为偶数）或 0 0 arctan( / ) y z E E （当 n 为奇数） 0 0 arctan( / ) y z E E 一般情况：是椭圆偏振。 3等离子体波的线性化和平面波分解 将等离子体中的扰动作 Fourior 分解，也即化为多个 平面波的线性叠加。如果方程组是线性的，对于所有 满足方程组的平面波来说，其线性叠加也满足方程组。 因此，从研究最简单的平面波入手，我
6、们就可以研究 扰动在等离子体中的传播和发展。方程组中的非线性 项应该被忽略，这是由方程的线性特性所决定的。另 外，非线性项都是二阶或二阶以上的小量，在解线性 波动问题时，可以忽略。 4线性波的色散关系 一般来说，对于等离子体中的波动来说，其频率和波 长有一定的对应关系。或者说，对于一个给定的频率， 只有对应波长的波动才能存在。这种对应关系即为波 的色散关系： ( , ) 0 D k5电子静电波等离子体中，电子的运动会引起电荷分离，使得 等离子体偏离电中性，从而产生静电场。在这个静电 场的作用下，电子会改变运动状态，力图使等离子体 恢复电中性，但是在等离子体恢复了电中性之后，电 子仍然具有一定的
7、动能，其运动又会使等离子体产生 非电中性。我们称电子的这种振荡为电子静电波，也 叫 Langmuir 波。在冷等离子体中，这种波动可以用以下方程组描 述： * ( ) 0 e e n n v t x MERGEFORMAT 12(1.12) * ( ) e e e dv n m n e E dt MERGEFORMAT 13(1.13) * 0 0 ( ) e e n n E x MERGEFORMAT 14(1.14)我们将方程组进行线性化和平面波分解，得到方 程组* 1 0 1 1 1 0 0 / e e e i n ikn v i m v eE ikE en MERGEFORMAT 15
8、(1.15) 经过化简成为 * 2 0 1 2 0 1 (1 ) 0 e n e ikE m MERGEFORMAT 16(1.16) 这表明，如果要 ，即有波动存在，必须有 0 E * 2 0 0 pe e n e m MERGEFORMAT 17(1.17) 在电子热压力不可忽略的情况下，方程* MERGEFORMAT (1.13) 改写为 * ( ) e e e e p dv n m n e E dt x MERGEFORMAT 18(1.18) 并加上关于电子压力 的绝热方程 e p * e e e e p dn d n dt n dt MERGEFORMAT 19(1.19)其中 是
9、平均每个电子的内能： * 2 2 e e p D D T n MERGEFORMAT 20(1.20) 这里 是电子运动的自由度。由于在电子静电波中， D 电子做一维的运动，因此这里取 。方程* 1 D MERGEFORMAT (1.19)和* MERGEFORMAT (1.20) 可合并为 * 0 e e d p n dt MERGEFORMAT 21(1.21) 这里 为多方指数，而对于电子做 1 维运 ( 2) / D D 动的电子静电波情况，取 。而对于普通电子做 3 3 维运动的情况，取我们熟知的 。 5/ 3 方程组经过线性化和平面波分解，成为 * 1 0 1 0 1 0 1 0
10、1 0 0 / / / / 0 e e e e e e e i n ikn v i m v eE ikp n ikE en p p n n MERGEFORMAT 22(1.22) 得到色散关系，也即这组方程存在非 0 解的条件为 * 2 2 2 2 p se k v MERGEFORMAT 23(1.23) 这里 是电子的声波速度。在 的冷等 e se e T v m 0 e T 离子体近似的条件下，回到* MERGEFORMAT (1.17)式， 对应的 Langmuir 波的群速度为 0，因而是不传播的 局域震荡。而在热等离子体中，Langmuir 波的群速 度与电子热运动速度是同样的量
11、级，类似于电子压力 引起的纵波。电子静电波的频率必须不小于电子等离子体频率 ，通常这是较高的频率。在这个频率下，离子由 pe 于其质量远大于电子质量，它来不及响应这么高的频 率变化。其运动可以忽略。对于长波情况，色散关系 可近似为 * 2 2 3 (1 ) 2 p De k MERGEFORMAT 24(1.24) 其群速度远小于电子的热速度 the v * 3( ) g De the the d v k v v dk = MERGEFORMAT 25(1.25) 对于短波情况，当 时，由* MERGEFORMAT 1 De k : (1.23)式知此时 ，群速度 与电子热速 2 pe : 3
12、 2 g the v v :度相当，这是会产生强烈的波与电子的相互作用，需 要用动力学才能加以研究。 6离子声波和离子静电波离子的运动可以产生频率较低的波动。在研究较 低频率的等离子体波动时，需要同时考虑电子和离子 的运动： * 0 ( ) 0 1 ( ) 0 n n v t x dv p n m n q E dt x E q n x d p n dt MERGEFORMAT 26(1.26) 其中， 代表等离子体中的所有粒子，即电子和各 种离子。线性化和平面波分解之后，得到：* 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 / / / 1 / / n n kv i m v q E ikp n ik
13、E q n p p n n MERGEFORMAT 27(1.27) 得到色散方程： * 2 2 2 2 1 0 p s k c MERGEFORMAT 28(1.28) 其中 ， 。由于离子质量远大于 2 2 0 0 p n q m 2 s T c m 电子质量，则 。 pi pe = （1） 高频情况 在高频时， ，在* MERGEFORMAT pe (1.28)式求和的各项中，离子项远小于电子项，因而 可以忽略。只保留电子项，此色散关系回到* MERGEFORMAT (1.23) 式，得到电子静电波。 （2） 低频情况为简化分析起见，不妨假设只有一种氢离子成份。 离子声波： 对于低频长波
14、， ，在* 1 De k = MERGEFORMAT (1.28)式中的电子项和离子项均远 大于 1（因为它们的分母均很接近于 0） ，因此可以忽 略第一项 1，得到离子声波色散关系 * MERGEFORMAT s kv 29(1.29) 其中 * e e i i s i T T v m MERGEFORMAT 30(1.30) 这很像在普通气体中传播的声波。由于波长很长，在 这种长尺度条件下等离子体可以很好地保持电中性， 因此引起的扰动类似于中性气体中产生的压缩波。但 由于离子和电子必须保持电中性，当离子运动时，电 子必须跟随，两者牢牢地结合在一起。这时电子的压 力影响也通过这种结合传递给离子，即使离子温度为 0，因为有电子压力的存在，也可以产生离子声波。 事实上，在以后的动力论中我们知道，如果离子热运
