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1、 第 1页 第 2页 数学基础知识与典型例题 （第九章直线、平面、简单的几何体）(2) 简 单 几 何 体 3.正多面体:每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面 体，叫做正多面体.正多面体只有五种,如图:正四面体、正六面体、正八面体、正十二 面体、正二十面体.4.球:(1)球面和球的概念:与定点的距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球.定 点叫做球心,定长叫做球的半径.与定点距离等于定长的点集合叫做球面. 如图的球中，O 是球心，线段 OC 是半径，线段 AB 是直径，球一般用表示它的球心 的字母来表示，上图记为球 O. 球的截面的性质: 用一个平面去截球，截
2、面是圆；球心到截面圆心的连线垂直于截面； 球心到截面的距离 d与球的半径 R 及截面的半径 r，有下面的关系： ; 2 2 2 d R r 注:球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆. 球面面积 S 球面 =4R 2 ；球体积 V 球 = R 3 . 3 4 经度、纬度和球面距 北极、南极的连线称为地轴.英国的格林威治天文台与地轴形成一个大圆，以地轴 为直径，天文台所在半圆弧称为 O经线，也称为本初子午线. 经线指的是某点与地轴形成半圆圆弧，赤道面指的是垂直于地轴. 某地点的经度指的是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 O经线与地轴确定 的半平面所成二面角的度
3、数，实质是二面角. 某地点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数，本质是线面角. 注意：东西经 180经线重合，如图 1.球面距离指的是经过两点的大圆的劣孤长，也是球面上经过这两点的最短距离. 如图 2所示：NS 为地轴，P 所在经线为 ，设 P 点所在经线为 0经线，B 所在 NPS 经线为东径 n 度(nAOB)，P 在北纬 m 度(m )要确定Q在地球上的位置， POA 必须知道Q的经度与纬度. 注:棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题. 在正棱锥中，要熟记由高 PO，斜高 PM，侧棱 PA，底面外接圆半径 OA，底面内切圆 半径 OM，底面正多
4、边形半边长 OM，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角 形。 多面体中表面上两点的最短距离。 多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度， 这是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外） 。 第 3页 第 4页 关于组合体体积的计算问题。 有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。 构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等 于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成， 其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。 简 单 几 何 体 因此，组合体体积
5、的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简 化。 关于等积变换问题 (等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等.) 等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体四面体和平行六面 体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四 面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。 若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面 体之后，再施行等积变换。 用等积变换求点到平面的距离,是用两种不同的体积计算方法,来建立所求距离的方程,使问题得解. 异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。
6、用等积 变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。 球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。 例 41.M= 正四棱柱，N= 长方体，P= 直四棱柱，Q=正方体,下列关系中正确的是 （） (A)Q M N P (B)Q M N P (C)Q N M P (D)Q N M P 例 42. 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是( ) (A)各侧面是正三角形 (B)底面是正方形 (C)各侧面三角形的顶角为 45度 (D)顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 例 43. A、B 为球面上任意两点，则通过 A、B 可作的大圆个数是( ) (A)只能作一个 (B)无数个 (C)可能
7、作一个或零个 (D)以上都不对 例 44. 长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球 面上，则这个球面的表面积为（ ）(A) (B)56 (C)14 (D)64 2 7 例 45. 将两邻边长之比为3:4的长方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角，若四点 A、B、C、D的外接球的球面面积为100，则 B、D两点间的球面距离为（ ） (A) 4 5(B) (C) 2 5(D)3 例 46.设地球半径为 R，在北纬 30圈上有甲、乙两地，它们的经度差为 120，那 么这两地间的纬线之长为（ ）(A) R (B) R (C)R (D)2R 3 3 3 例 47. 如
8、图，以正方体 ABCD 1 1 1 1 D C B A 的顶点为顶点，且四个面均为直角三角形的 四面体是 .(要求：只写出其中的一个，并在图中画出相应的四面体)第 5页 第 6页 例 48. 若棱锥底面面积为 ，平行于底面的截面面积是 ，底面和这个截 2 150cm 2 54cm 面的距离是 ，则棱锥的高为 ； 12cm 例 49. 已知 A，B，C，D 为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于 2，则 球心到平面 BCD 的距离等于_。 例 50. 如图，在平行六面体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，已知 AB=5，AD=4，AA 1 =3，ABAD，A 1 AB=A 1
9、AD= 。 （1）求证：顶点 A 1 在底面 3 ABCD 上的射影 O 在BAD 的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。 空 间 角 与 距 离1.角：异面直线所成的角,直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。 异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。 直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。 二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。 2.距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。 异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。 线面距离，面面距
10、离常化归为点面距离。 3.计算问题： （1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算 异面直线所成的角 范围：090 方法：平移法；补形法. 直线与平面所成的角 范围：090 方法：关键是作垂线，找射影. 二面角 范围：0180 方法： 定义法； 三垂线定理及其逆定理；垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式 S=Scos来计算 （2）空间距离 两点之间的距离. 点到直线的距离. 点到平面的距离. 两条平行线间的距离. 两条异面直线间的距离. 平面的平行直线与平面之间的距离. 两个平行平面之间的距离. 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离. 七种距离之间有密切联系，有
11、些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到 直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离. 在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点. 求点到平面的距离： (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积 法. 求异面直线的距离： (1)定义法，即求公垂线段的长. (2)转化成求直线与平面的距离. (3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的. 注:在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想： 利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱
12、锥的问题转化成平面图形去解决. 将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法. 第 7页 第 8页 补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形. 利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高. 平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角 度、长度不变 例51.空间四边形 ABCD 中，E、F分别为 AC、BD 中点，若 CD2AB4，EFAB，则 EF与 CD 所成的角为( ) (A)30(B)45 (C)60(D)90 例52. 如图，AB=2，AC ，BD ，C ，D ，CD=1， 则直线
13、AB 与 所成的角为（ ）(A)30 (B)60 (C)arctan (D)45 0 0 2 1 0 例 53. 已知正方形 ABCD，沿对角线 AC 将ADC 折起，设 AD 与平面 ABC 所成的角 为，当取最大值时，二面角 BACD 等于( )(A)120 0(B)90 0(C)60 0(D)45 0 例 54. 若三直线 PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=3，则点 P 到平面 ABC 的距离为（ ） (A) (B) (C) (D) 2 3 5 7 空 间 角 与 距 离 例 55. 等边ABC 的边长是 1，BC 边上的高是 AD，沿 AD 折成直二面角，则点 A 到 BC 的距离是（ ）(A) (B) (C) (D)1 2 2 2 4 14 例 56. 如图，在棱长为 2的正方体 中，O 是底面 ABCD 的中心， 1 1 1 1 D C B A ABCD E 是 的中点，那么异面直线 OE 和 之间的距离等于( ) 1 CC 1 AD (A) (B)1 (C) (D) 2 2 2 3 例 57.正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， （1）BC 1
