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1、 请务必阅读正文之后的免责条款 最小方差组合的风险收益结构研究之二 最小方差组合的构建方法及绩效分析 相关研究 最小方差组合的风险收益结构研究之一 股票市场收益率与波动率的非对称性研究 融工程分析师 周健 电 话： 021峰 电 话： 021y 构造最小方差组合的流程一般是： 先挑选出一个与投资者的投资策略相符的市场指数作为母指数（ ，然后再选择合适的编制规则，对成份股的权重进行调整优化，使新组合的方差达到最小。在最小方差组合的具体实现中，有以下几个难点： （ 1）计算协方差矩阵。 （ 2）求解权重。 （ 3）权重限制。 （ 4）协方差矩阵更新周期。 y 实证中，我们尝试两种权重限制 0,和
2、0,3%，三种协方差更新周期月度、季度和半年，故得到六种组合。通过衡量风险、收益和交易成本，来确定比较合理的权重限制和更新周期。实证主要结论如下： （一）最小方差组合的风险显著低于沪深 300 指数，权重限制越宽，协方差矩阵更新周期越短，组合的风险越低。 （二）从风险调整收益即夏普值来看，权重限制为 三种组合最高，其次指数，最后是权重限制为 3%的组合。 （三）从相对强弱走势可以看出，最小方差组合在市场上涨尤其是快速拉升阶段的表现较差，在市场下跌和震荡时，能够明显跑赢指数。 （四）最小方差组合的行业集中度比指数要高，但并不严重。 y 总体来看，我们构造的最小方差组合在风险方面明显优于沪深 30
3、0 指数，而且收益率也不低于指数，对于厌恶风险的投资者来说，具有明显的投资价值，而最小方差组合的意义和用途并不限于此。根据投资策略的不同，投资者可以改变母指数，比如大小盘指数、行业指数、概念指数等，运用这种思想来构造该指数对应的最小方差组合，这就更具有实战意义。 量化组合构建 定定 量量 研研 究究 2009 年 07 月 09 日 定量研究 11. 研究目的 在前一篇报告最小方差组合的风险收益结构研究之一股票市场收益率与波动率的非对称性研究中，我们经过文献整理和实证检验发现： （ 1）从国外研究结果看，最小方差组合在平均收益、波动率和风险调整后收益等指标上均明显好于市场组合。 （ 2）国内市
4、场股票的波动率与长期收益率之间具有显著的负向关系，这一结论与我们常说的“高风险高收益、低风险低收益”正好相反。 （ 3）根据波动率高低构造的低波动率股票组合明显战胜了高波动率股票组合，并且超越大盘，与国外研究结论基本符合。 以上这些结论表明进一步在国内市场构造最小方差组合具备可行性，但是如何构造出最小方差组合及组合的绩效如何就需要更深入的研究，因此本文重点讨论最小方差组合的编制规则， 在现有市场环境下， 对不同规则构造出来的最小方差组合进行绩效分析，最后挑选出具有低成本、可复制的指数及规则。对厌恶风险的投资者来说，可以用这种指数作为基准进行实战，比如保险公司、企业年金等。 2问题的提出 在构造
5、最小方差组合之前，我们要先确定股票组合的范围，因为市场上的股票数量过多，对于投资者来说难以全部复制，而且投资策略不同，投资者关注的股票组合也会不一样。因此，我们借鉴国外经验，先挑选出一个与投资者的投资策略相符的市场指数作为母指数（ ，然后再选择合适的编制规则，对成份股的权重进行调整优化，使新组合的方差达到最小。主要流程如下图所示。 图 1 构造最小方差组合的流程 资料来源：海通证券研究所 本文使用的母指数为沪深 300 指数，并没有考虑特定的投资策略，原因是投资策略的不同可能会影响最小方差组合的表现，采用大盘指数作为母指数可以得到客观的结论。在实际运用中，投资者完全可以在自己的股票池上进行优化
6、得到最小方差组合。 简单的说，构造最小方差组合就是先计算协方差矩阵，然后给定权重序列一些限制条件，通过优化工具，就能求到使得方差最小的最优权重序列，对应的股票组合就是最小方差组合。组合需要定期更新，当成份股进行调整时，也要重新计算。 以上是构造最小方差组合的主要流程，在具体实现中，我们遇到以下几个难点： 指定投资策略挑选母指数 计算协方差矩阵定期更新矩阵及权重优化求权重最小方差组合挑选母指数 计算协方差矩阵定期更新矩阵 最小方差组合 定量研究 2 （ 1）计算协方差矩阵。 为了防止协方差矩阵出现退化，并尽量使协方差矩阵平滑一些，以降低优化权重的剧烈变动，我们使用两年的日收益率数据进行计算，得到
7、 300 300 的协方差矩阵 。这种协方差矩阵通常被成为样本协方差矩阵（ 。不过样本协方差矩阵的问题在于收益率的频率会受到价格数据不同步的限制，有可能出现股票数目超过收益率观测值数量的情况。 在国外，已经有比较多的模型被用来估计协方差矩阵，比如 理就是将收益率矩阵分解成多个成分，一般都是股票风格方面的指标如大小盘，价值成长，概念等。在使用计量工具对股票收益率进行分解后，再将不可解释的残差 去除，得到新的收益矩阵及相应的协方差矩阵。 =+ + =+ + +以上这些模型虽然会优化结果，但是对投资者会产生较高成本，模型背后的机理难以知晓，有效性和可靠性也是问题，因此在下面的实证中，为了将问题尽量简
8、单化和客观化，我们没有使用这些复杂的模型，直接用真实收益率计算协方差矩阵。 （ 2）求解权重。 构造最小方差组合的另一大难点就是如何根据协方差矩阵求解权重，使得组合方差最小。假设权重为1(, , )w= L ，以上问题就是： 以上问题实际上就是一个带多个约束条件的二次优化。在实际求解中会遇到多极值现象的困扰，即使用一般的优化算法得到的很可能只是一个局部解而非全局最优解，这样会严重影响我们的实证效果，因此，在实证中我们使用一种全局随机寻优的优化方法即遗传算法来解决这些困难。简单来说，我们先利用遗传算法锁定最优解存在的局部区域（即找到问题的一个近似解作为下一步优化的初值） ， 然后再利用通常的优化
9、算法 （比如牛顿法）求出问题的最优解。 （ 3）限制条件。 在得到协方差矩阵后，如果不加限制条件，通过优化得到的成份股权重值往往会出现负值，或者权重很大，甚至超过 1。然而在国内不可以卖空，而且投资组合对单一成分的权重也应该有所限制，因为对机构投资者来说，在单一股票上的暴露不能过高，以基金公司为例，单一股票的权重不能超过 10%，实际投资中往往限制更严。 从沪深 300 指数的成份股权重来看， 近 3 年来， 权重超过 3%的股票数量不到 5 只，多数都在 下。因此，在构造最小方差组合的实证中，我们尝试将成份股的权重上限设为 3%和 由于不能卖空，权重下限设为 0。 （ 4）协方差矩阵更新周期
10、。 如果母指数调整成份股，最小方差组合成分也会相应调整，所以协方差矩阵的更新周期首先要与母指数同步。其次，最小方差组合并不是按照流通市值加权，每次优化得到的权重之间可能会有较大差距，从而产生交易成本。如果半年更新一次协方差矩阵，由于矩阵变化较大，可能导致比较高的交易成本，所以更新周期不宜过长。而如果周期2. 10w = 定量研究 3 过短，虽然每次调整权重的成本下降，但更新的频率会增加，也可能会造成交易成本累计过高。 在实证中，我们尝试了月度、季度和半年三种更新周期，通过衡量风险、收益和交易成本，来确定比较合理的更新周期。 3实证分析 我们使用沪深 300 指数作为母指数，由于实证时间段较长，
11、要考虑股票分红，所以指数收益数据选用沪深 300全收益指数 （以下均称为沪深 300指数） 。 个股数据选取 2000年 1 月到 2009 年 4 月的日度前复权收益率，但是在计算中发现 02 年 1 月到 4 月数据量不足，所以实际计算是从 4 月底开始。因为 07 年和 08 年有很多新股上市，所以沪深 300 指数成份股调整比较频繁，为了简化问题，我们限制半年更新一次指数成份股。交易成本方面，假设交易佣金为千分之一，对于指数成份股来说，流动性的问题相对较小，冲击成本设为千分之三。 下图为 6 个最小方差组合的走势图， “ 表权重限制为 月度更新的最小方差组合， “ 表权重限制为 季度更
12、新的最小方差组合， “ 重限制为 半年更新的最小方差组合，其他类似。 图 2 构造最小方差组合的流程 通证券研究所 对最小方差组合的具体分析主要从风险、收益、换手、行业权重等方面出发，有以下几个重要结论： 首先，我们最为关心的是，最小方差组合的风险是否比沪深 300 指数有明显下降，因此，对以上构造的 6 种组合的收益率进行风险分析，主要包括日收益率标准差、损失月数、月度最大损失、月度最大收益等指标，具体结果见下表。 统计每个月的日收益率标准差，并进行 t 检验，可以看到 6 种组合的标准差都显著低于沪深 300指数， 特别是权重限制为 3%的三个组合， 标准差降低的幅度基本都在 20% 定量
13、研究 4 左右，而权重限制为 三个组合标准差降幅仅有 10%左右，可见严格的权重限制确实会对最小方差组合的风险形成负面影响。 表 1 沪深 300 指数与最小方差组合的风险比较 沪深 300 益率标准差平均值 检验（ t 值） 失月份 33 34 34 33 37 37 37 损失最大值 获利最大值 资料来源：海通证券研究所 下图是六个组合与沪深 300 指数的历史标准差，可以直观地看到，沪深 300 指数的标准差基本上都是最高的。但是在 06 年和 07 年的 5 月、 6 月，部分最小方差组合的标准差甚至超过沪深 300 指数，而这段时间市场正处于单边上涨的牛市行情中，可见最小方差组合在这种市场中表现欠佳。 图 3 最小方差组合与沪深 300 指数的收益率标准差比较 0
