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1、稳定性与鲁棒性基础,Lecture2: 稳定性,稳定性的定义,当一个实际的系统处于一个平衡的状态时（就相当于小球在木块上放置的状态一样）如果受到外来作用的影响时（相当于对小球施加的力），系统经过一个过渡过程仍然能够回到原来的平衡状态，我们称这个系统就是稳定的，否则称系统不稳定。一个控制系统要想能够实现所要求的控制功能就必须是稳定的.稳定性是系统运行的核心问题.,稳定性的萌芽思想,2000年前 ，汉朝的淮南王刘安 淮南子说山训 ：“下轻上重，其覆必易”； 宋朝沈括在 梦溪笔谈中把这种观察到的事实付诸于应用 ，他在忘怀录 中指出：“安车车轮不欲高，高则摇” ；类似稳定，至少可以追溯1500年前到晋
2、书上所述“行人安稳，布帆无恙” ；西方“stable”源出于拉丁文“stabilis” ，表示坚持、保持的意思；以上说法与观念表现了对稳定这一概念的最初理解。,稳定性科学概念的发展,18世纪下半叶到19世纪末 ，发生了一些具有深远影响的事件，从中人们可以看到稳定性理论产生的必然性。 J. Watt 1765改进了T. Newcomen 发明的蒸气机 ，引发了工业革命； J. L. Lagrange 1780年出版 分析力学，科学地讨论了平衡位置的稳定性； C. Hermite 1856年建立了关于多项式对根交错的理论；J. C. Maxwell 1868年发表的“论调节器” ，讨论了蒸气机自动
3、调速器与时钟机构的运动稳定性；,A.L. Cauchy 在19世纪给出了关于极限描述的，N语言；H. Poincare在微分方程定义的积分曲线和天体力学方面作出了贡献；G. Peano，I. Bendixson和G. Darboux微分方程解对初值及参数连续依赖性的研究。 上述这些重要事件及相关科学的进展促成了19世纪末稳定性理论的两个主要学派的形成。,两个主要学派,Routh-Hurwitz （1875，1895）通过判断系统的特征根是否在左半平面判定系统是否稳定；A.M. Lyapunov 1892发表著名的博士论文运动稳定性一般问题，通过考察系统能量是否衰减来判定稳定性。,稳定性的研究方
4、法,Lyapunov函数法 大概也是迄今为止唯一的纯粹非线性 线性化方法 包括一点线性化，逐点线性化(完全线性化)本质上依赖于系统解析解的方法(仅限于线性系统) 特征值法(极点法) 含时域、频域等 仅适用于定常系统 注意：时变系统(“缓变系统”除外)一般而言：即便是线性的，特征值也毫无意义的,数值仿真法(也属于近似方法) 近似方法(既非必要，也非充分，数学基础也不完善) 描述函数法(谐波线性化方法)，本质上的频域方法 相平面法(仅适用于平面系统(2阶),BIBO稳定性,假设系统H的描述方程x(t)Rn是系统的内部状态，u和y分别是系统外部输入信号和输出信号，如图任意输入u，系统H都有一个响应信
5、号y与之对应：y=Hu从数学意义上，H为输入函数空间U到输出函数空间Y的一个映射或算子,定义：对于算子H：LL，若存在两常数0和b0，使得 成立，则称算子H是BIBO稳定的.注：1、BIBO稳定意味着任何一个有界输入的激励响应都是有界的; 2、不等式(1)并不局限于L空间，只要输入在某种范数意义下有界，输出就在同一范数意义下有界.,(1),考察线性系统(A,B,C)的BIBO稳定性定理2.1 若In(A)=(0,n,0), 则系统 (A,B,C)是BIBO稳定性的证明：系统(A,B,C)的输出响应表达式为由于In(A)=(0,n,0), 响应表达式(2)中状态转移矩阵有界，即对(2)取范数令则
6、,(2),即，系统是BIBO稳定的,小增益定理,增益：描述在由输入到输出的信号传递过程中，系统对信号的强度放大或缩小的一种度量。控制系统的增益一般用算子范数定义例：用增益讨论BIBO稳定，系统 系统输出 若存在 ，使得,则系统BIBO稳定。,小增益定理：对于系统H1, H2，如果存在 以及 ，使得 对任意 成立，且 ，则对任意的,小增益定理等价描述：若系统H1, H2的增益 满足 ，则闭环系统是BIBO稳定的。例：如图，系统满足(0)=0, 00，都对应存在实数(, t0) 0 ，使当 时，从任意初态X0出发的解都满足则称平衡状态Xe是Lyapunov意义下稳定的。其中，实数与有关，一般也与t
7、0有关。如果与t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。,2、渐近稳定如果平衡状态Xe是稳定的，而且当t无限增大时，轨线不仅不超出 ，而且最终收敛于Xe，则称这种平衡状态Xe是渐近稳定的。即有：,3、全局稳定若存在一个含平衡状态Xe为内点的区域S，使得对任意的x0S，均有x(t)=x(t,x0,t0)S,且 则称S为系统的平衡状态的吸引域若系统的平衡状态Xe是稳定的，且其吸引域为Rn，则称系统的平衡状态Xe是全局稳定的,4、全局渐近稳定如果平衡状态Xe是渐近稳定的，且吸引域是整个状态空间(Rn)，则Xe为全局渐近稳定的，其必要条件是整个状态空间只有一个平衡点。线性系统：渐近稳定 全局渐近稳定非线
8、性系统：S()一般较小，小范围渐近稳定。5、不稳定如果对于某个实数0和任一实数0 ，不管多么小，由S()出发的状态轨线，至少有一条轨线越过S() ，则称 Xe为不稳定。,6、指数稳定若系统在平衡状态Xe是渐近稳定的，且存在0和0，使得 成立。则称系统的平衡状态Xe是指数稳定的如果上式对任意的x0 Rn 均成立，则称平衡点Xe是全局指数稳定的,三、 Lyapunov稳定定理不失一般性，设系统的平衡状态Xe 0，下面讨论其稳定或渐近稳定的条件设V(x,t)是连续可微的正定函数，若V沿着系统(3)解的轨迹对t求导，其导数 半负定且连续，则称V(x,t)是方程(3)关于平衡状态Xe的Lyapunov函
9、数Lyapunov稳定定理：对于系统(3)，若存在Lyapunov函数V(x,t)，则Xe 0是该系统稳定平衡点。Lyapunov渐近稳定定理：对于系统(3)，若存在Lyapunov函数V(x,t)和负定函数W(x)，满足 则Xe 0是该系统渐近稳定平衡点。,(3),Lyapunov指数稳定定理：对于系统(3)，若存在Lyapunov函数V(x,t)满足： 其中，r10, r20,0为给定常数，则平衡点Xe 0是指数稳定的以上定理中，若初始条件x0 Rn ，则平衡点Xe 0为全局指数稳定的线性系统全局指数稳定：若系统 的零解是渐近稳定的，则该系统全局指数稳定,对Lyapunov函数的说明：（1
10、）V(X)是正定的标量函数；（2）并非所有系统都能找到V(X)来证明该系统稳定或者不稳定；（3） V(X)如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的结论是一致的；（4）V(X)最简单的形式是二次型V(X)=XTPX；（5）V(X)只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息；（6）构造V(X)需要一定的技巧。,四、Lyapunov方法在线性系统中的应用线性定常连续系统渐近稳定性判据： 设线性定常系统为： ，则平衡状态Xe0为全局渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足Lyapunov方程：ATP+PA=-Q且V(X)=XTPX就是Lyap
11、unov函数。线性定常离散系统渐近稳定性判据： 设线性定常系统为：x(k+1)=x(k)，则平衡状态Xe0为全局渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足Lyapunov方程：T P -P =-Q且V(X)=XTPX就是Lyapunov函数。,说明：（1）一般先取正定矩阵Q，带入Lyapunov方程，求出P，判别P的正定性，从而判断系统的稳定性；（2）通常取QI，以方便计算；（3）判据是充分必要的 A的特征值均具有负实部。,五、Lyapunov方法在非线性系统中的应用Lyapunov方法用于非线性系统只能说明局部稳定性，而且只是充分条件而非必要条件。1、
12、雅可比（Jacobian）矩阵法又称克拉索夫斯基（krasovski）法设非线性系统： 假设原点Xe=0是其平衡状态，系统的雅可比矩阵,非线性系统稳定性充分判据： 任给定正定实对称矩阵P，使下列矩阵：为正定的。并且是系统的一个Lyapunov函数。如果当 时，有则Xe=0是全局渐近稳定的。,例题：系统方程： ，用雅可比矩阵法分析稳定性。解：取PI,所以Q(X)是正定的。原系统稳定。且李氏函数：当 时，有 ，故系统是全局渐近稳定的。,2、变量梯度法 变量梯度法又称为舒茨基布逊（Shultz-Gibson）法，由此二人在1962年提出。 变量梯度法是基于以下事实： 若能找到一个Lyapunov函数
13、，证明系统是渐近稳定的，则这个Lyapunov函数的梯度 是必定存在而且是唯一的。 则V(X)对时间的导数 可表示为：,基本思路：,先假定 具有某种形式（系数待定）,根据 负定确定待定系数,由 求,判别 的正定性,步骤：（1）假设 为一待定系数的n维向量：（2）根据 负定来确定待定系数（3）由 求 ：这是一个线积分。线积分与路径无关的条件： 的旋度为0，即：,若满足以上旋度为0的条件，则有（4）判别V(X)的正定性说明：即使用以上方法找不到合适的V(X) ，也不能说系统就是不稳定的。例题：用变量梯度法分析以下系统的稳定性。,解：（1）假设（2）求欲使 负定，可选则,为约束条件在此条件下有：（3）求V(X)先判断积分条件：满足积分条件。,
