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1、兰州大学 2008 年招收攻读硕士学位研究生考试试题注意：答案请一律写在答题纸上，写在试题上无效。招生专业：数学与统计学院各专业 初试科目代码：801 考试科目：高等代数1、 （20 分）设 P 是属于， 的非空子集 I 为 的理想，如果对于xxP，有hIxgf,.,Ixg证明：（1）对于 德任意理想 I，存在 使得对任意 使得对任意PIxd1,Ixf， 。Ixfxfd12、（16 分）计算下列 2n阶行列式的值。(1） bababanDLMML00 010（2） nnnnxxDLMOML21 333 2221 13、（16 分）设 A 是 n级实对称矩阵.且.证明：（1）存在整实数 使得 和
2、 是正定矩阵；,AE（2）存在正实数 使得对任意实 维列向量 ，都有 。nTTA4、( 16 分 )（ 1）求所有仅与自身相似的 级矩阵。（2）设 A,B,C 是矩阵，AB,BC 有意义。证明：若 ,则 .BrBCr5、（20 分）设 BA,都是数域 P 上的 n级矩阵，且满足 .证明：AB=BA 当且EA22仅当存在可逆矩阵 P 使得 都是对角矩阵。1,6、 （18 分）设 是有限维线性空间 V上的线性变换，W 是 V 上的子空间, 表示由 W中向量的像组成的子空间， 表示 的核空间。证明：01维 +维（ ）=维（W).WI7、 （16）证明： 维欧氏空间 V 的每一个子空间 都有唯一的正交
3、补空间。n1V8、 （18 分）设 V 是数域 P 上的 维线性空间， 是 V 上的线性变换，且在 P 中有 个不nn同的特征值 。证明： 线性无关的充分必要条件是n,21L1,nL，其中 是 对应于特征值 的特征向量， =1，2， 。ni1iii,L9、 （10 分）设 A,B 都是 级正交矩阵，且 ,证明：存在实 维列向量 使得n0BAn0.BA兰州大学 2008 年招收攻读硕士学位研究生考试试题注意：答案请一律写在答题纸上，写在试题上无效。招生专业：数学与统计学院各专业 考试科目：数学分析1.计算下列各题。 （每题 6 分，共 36 分）(a) ;nn121limL(b) ;n43li(
4、c) ;211)(xxx(d) ;d02cosi(e) ;3lim, yxayx(f) ,其中 L 是不过原点的简单封闭曲线。Ld22.（10 分）设 ， ，证明存在 0 使得对所有的 ,均有 xf.0f1f0x3.（10 分）试证明 在 上不一致连续，但对任何 ，在 上一一致连2xf, 1，续。4.（14 分）设 是实参数，记,0xf证明存在 0，使得对任何 ，都存在 ，满足 .，00,f5.（10 分）设 0.讨论级数 的收敛性。p1npx6.（10 分）设 上有界，记baxf,在, 0mf 0,maxff证明 在 上可积的充分必要条件是 在 上均可积，并且x, ,b.dxfxfdf bababa7.（10 分） 对两个变元均连续，且关于其中一个变元单调，则它就是两个变元混合yxf,连续的。8.（10 分）设连续函数 满足 ，记f1fdxyzxtFtzyx22 2证明： .419.（40 分）称 是凸函数，如果对任意得 ，均有xf 10，yffyf1（a)试给出凸函数的几何解释。（b)若 是区间 I 上的凸函数，讨论 在 I 上的连续性；xf xf（c)若 有下界，即存在常数 M，使得对任何 ，都有 ，问 是否有最Mxfxf小值？证明你的结论。
