双曲线习题精选精讲

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1、- 1 - - 1 -双曲线习题精选精讲（1）双曲线定义与椭圆相伴相离.从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三：1.按第一定义，双曲线要求动点到两定点距离之差为常数（小于两定点间的距离） ，而椭圆则要求动点到两定点距离之和为常数（大于两定点间的距离） ；2.按第二定义，双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数 e（e1） ，而椭圆则要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数 e（0e1） ；3.按主要参数 a、b、c 之间的关系，双曲线要求 c2=a2+b2 .abc其 中 ， ， 依 次 表 示 双 曲 线.而椭圆则要求 a2=b2+c2的 实 ， 虚 半 轴 和 半 焦

2、 距 其 中 ， ， 分 别 表 示 椭 圆 的 长 ， 短 半 轴.和 半 焦 距【例 1】若椭圆 与双曲线 有相同的焦点 F1，F 2，P 是两条曲线012fnmyx21xyab)0(f的一个交点，则|PF 1|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. ama2mam【解析】椭圆的长半轴为 121PF，双曲线的实半轴为 ，故选 A.21212144PFmama：【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例 2】已知双曲线 与点 M（5，3） ，F 为右焦点，若双曲线上有一点 P，使 最小，79yx MF21则 P 点的坐标为【分析】待求式中的 是什么？是双曲线离心率的

3、12倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点 F（6，0） ，离心率 2e，右准线为 .作 于 N，交双曲线右支于 P，3lx： Ml连 FP，则 .此时12PFeP为最小.137522在 中，令 ，得 取 .所求 P 点的坐标为 . 79yxy13.xxQf0， 2323（ ， ）（2）渐近线双曲线与直线相约天涯双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例 3】过点（1，3）且渐近线为 的双曲线方程是xy21【解析】设所求双曲线

4、为 24xkXYOF(6,0)M(5,3)PNPNX=32- 2 - - 2 -点（1，3）代入： .代入（1）：13594k即为所求.2254xyxy【评注】在双曲线 中，令 即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双21ab20yxyabab曲线为 ，而无须考虑其实、虚轴的位置.2xykab（3）共轭双曲线 虚、实易位的孪生弟兄将双曲线 的实、虚轴互易，所得双曲线方程为： .这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.21xyab21xyba它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例 4】两共轭双曲线的离心率分

5、别为 ，证明： =1.21,e21e【证明】双曲线 的离心率 ；2xyab2211caba双曲线 的离心率 .21b222eb . 22 21 1abe（4）等轴双曲线和谐对称 与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例 5】设 CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为 ，221xya直线 CD：y=m.代入（1）： .故有：m.22,CxmDx取双曲线右顶点 .那么：0Ba2 2, ,xxaurur.即CBD=90.20CDmBCD r urQ同理可证：CAD=90. 通法 特法 妙

6、法XOYC DA B- 3 - - 3 -（1）方程法为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.【例 6】如图， 和 分别是双曲线 的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为1F2 )0,(12bayx ABO1F半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双AB2曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）35531【解析 1】设 AB 交 x 轴于 M，并设双曲线半焦距为 c， 是等边三角形， 点ABF2 3,.2cOMAc代入双曲线方程：3,2cA.化简得：222222344bacbcaca.24422808031ceee（e1，

7、及 舍去）故选 D.31【解析 2】连 AF1，则AF 1F2为直角三角形，且斜边 F1F2之长为 2c.令 由直角三角形性质知：12,.AFr.2112rarcc .22 22214,400rcacee1，取 .选 D.31e【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.（2）转换法为解题化归立意【例 7】直线 过双曲线 的右焦点，斜率 k=2.若 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线l12byaxl的离心率 e 的范围是 （ ） A.e B.1235【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，但是和两条渐近线都有交点

8、却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为 2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与XYOFl- 4 - - 4 -之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线 的倾斜角为 ，双曲线渐近线l的倾斜角为 .显然。当 时直线 与双曲线的两ml个交点分别在左右两支上.由.22tant 45bcaea双曲线中 ，故取 e .选 D.1e5（3）几何法使数形结合带上灵性【例 8】设 为双曲线 上的一点， 是该双曲线的两个焦点，若 ，则P21yx12F， 12|:|3:PF的面积为（ ）12FA B C. D631212324【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦

9、距分别是： .设1,23,1abc； 12123,. ,2.PFrrPFarQ于是 ，16,4.5F故知PF 1F2 是直角三角形，F 1P F2=90. .选 B.1264PS【评注】解题中发现PF 1F2 是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.（4）设而不求与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例 9】双曲线 的一弦中点为（2，1） ，则此弦所在的直线方程为 （ ）2yxA. B. C. D. 1yx32xy32xy【解析】设弦的两端分别

10、为 .则有：1,2,AyB.2221 1212110xy yxx 弦中点为（2，1） ， .故直线的斜率 .124xy1212xkxy则所求直线方程为： ，故选 C.3yXYOF1 F2P2r- 5 - - 5 -“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是， “设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例 10】在双曲线 上，是否存在被点 M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不12yx存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符

11、合条件的弦 AB，其两端分别为：A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）.那么：.21121212122 0xyxyM（1，1）为弦 AB 的中点， 2 1212121 0ABx yxyky x 代 入 ： ，故存在符合条件的直线 AB，其方程为： .x， 即这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点 M（1，1）代入方程 ，发现左式=1- 1，故点 M（1，1）在双曲线的外部；其二：12yx2所求直线 AB 的斜率 ，而双曲线的渐近线为 .这里 ，说明所求直线不可能与双曲线相交，当2ABkxp然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】

12、在上述解法的基础上应当加以验证.由 2222114302yxxx这里 ，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.640p此外，上述解法还疏忽了一点：只有当 时才可能求出 k=2.若 .说明这时直线与双12x12120xy， 必 有曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.（5）设参消参换元自如 地阔天宽一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参.【例 11】如图，点 为双曲线 的左焦点，左准线 交 轴于点 ，点 P 是 上的一点，已知 ，FClxQl 1|FQP且线段 PF

13、 的中点 在双曲线 的左支上.M（）求双曲线 的标准方程；（）若过点 的直线 与双曲线 的左右m两支分别交于 、 两点，设 ，当ABFA- 6 - - 6 -时，求直线 的斜率 的取值范围. ),6mk【分析】第（）问中，线段 PF 的中点 M的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点 M 是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向第（）中，直线 的斜率 是主要变量，其它包括 都是辅助变量. 斜率 的几何意义是有关直线倾斜角 k k的正切，所以设置直线 的参数方程，而后将参数 用 的三角式表示，是一个不错的选择.【解析】 （）设所求双曲线为： .其左焦点为 F（-c。0）

14、；左准线： .21xyab2axc由 ，得 P（ ，1 ） ；由|1Q2c 222| 1.abFQccFP 的中点为 .代入双曲线方程：2,aM24a224cac22cacb根据（1）与（2） .所求双曲线方程为 .2,1ab2xy（）设直线 的参数方程为： .代入 得：m2cosinxty2 22cosincos403tttt当 ，方程（3）总有相异二实根，设为2016818Qf时 ，. 12124cso.tt ， 那 么已知直线 与双曲线 的左右两支分别交于 、 两点，mCABFAur与 同 向 ，.于是：210tFBAurf故 22121ttt.注意到 在 上是增函数，),6221149656t t（4）代入（5）： 22224cos948cos9cs0coscs 22011sectan97k或双曲线 的渐近线斜率为 ，故直线 与双曲线 的左右两支分别交必须xymCAyxOFPQBml- 7 - - 7 -.综合得直线 的斜率 的取值范围是 .1k， mk17k