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1、1海伦公式课本的例 8（下册 p.205）中涉及初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下：海伦公式：三角形的面积 cpbapS其中： 、 、 分别是三角形的三边长，abc 21证明（1）：由余弦定理可知： ，由此得出bacCcos2由 可得：cbap21，p，cpcc22，aaba，bc因此： cpbapb cbacC 21sincbacbaacbbaacbcC2122121sssin222222由三角形面积公式 即得CbaSsin21cpbp上述证明用到了三角函数 、 ，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。sincosCABT图 1T
2、BAC图 2是 的 边上的高，点 为垂足。记 ， ，BTCATcBbAC， ， （见上图） 。ahdT证明（2）：若 是锐角三角形（图 1） ，则由勾股定理有B222hdbca由（1）式得出 ，带入（2）式 ：hd。22habc展开，即得 ，由此式解得22abc，222 44bcbaccch 类似于证明（1） ，得出，22bcpaph由于三角形面积 ，由上式即得bS1。cpap3若 是钝角三角形（图 2） ，不失一般性，设 ，则由勾股定理有ABCo90C3122hdbca类似于 是锐角三角形的情况，可得，224cpph因而亦得 。cbapS若 是直角三角形（图 2） ，不失一般性，设 ，由勾股
3、定理有ABCo90C。2cbabaccbacpbap214222故，此时仍有 。cppS关于海伦公式（Herons formula 或 Heros formula）的历史海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元 60 年的Metrica中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于Metrica是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作亚历山大里亚的海伦（希腊语： ） （公元 10 年70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization）科学传统方面享负盛名。我国南宋末年数学家 秦九韶 发现或知道等价的公式，其著作数书九章卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，开平方得积。”若以大斜记为 ，中斜记为 ，小斜记为 ，秦九韶abc的方法即相当于海伦公式。
