《东城区2010年4月一模理科数学试卷(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《东城区2010年4月一模理科数学试卷(含答案)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京市东城区 2009-2010 学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）本试卷分第卷和第卷两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：样本方差 ，其中 为样本平均数22221()()()nsxxxnL第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 是虚数单位，若 ，则 的值是 （ ）学科网i12(,)iabiRabA B C D 学科网2122. 设全集
2、 ， ， ，则 等于（ 3,IxxZ1,A,B()IABU）A B C D 1,220,23. 如图，已知 是 的一条弦，点 为 上一点， ，OPABPO交 于 ，若 ， ，则 的长是（ ）PC4A2A B C D 3 24. 的展开式中 项的系数是（ ）8(2)xy62xyA B 565C D 85. 如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为 ，45则判断框中应填入的条件是（ ）A B4?T4?TC D33ABCOP否是S=S+ 1T iT=T+1i=i+1结 束输 出 SS=0T=0i=1开 始6.某人向一个半径为 的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是6随机的，
3、则此人射击中靶点与靶心的距离小于 的概率为（ ）2A B C D 131914127. 已知数列 的通项公式 ，设其前 项和为 ，则使 na3log()nan*NnnS4n成立的最小自然数 等于（ ）A B C D838281808. 定义在 上的函数 是减函数，且函数 的图象关于 成中心对R()yfx()yfx(1,)称，若 ， 满足不等式 则当 时， 的取值范围是st22()sft4st（ ）A B C D1,)41,41,)21,2第卷（共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡相应位置的横线上9. 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的
4、体积为_ 10. 将 ， ， 按从大到小的顺序排列应该是 231()211.在平行四边形 中，若 ， ，则ABCD(1,3)ur(2,5)ACur_， _ ur12.圆的极坐标方程为 ，将其化成直角坐标方程为_，圆心的sin2cos直角坐标为_ 13. 直线 过双曲线 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别tx12byax(0,)ab交于 ， 两点，若原点在以 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ABAB14如果对任意一个三角形，只要它的三边长 ， ， 都在函数 的定义域内，就有abc()fx， ， 也是某个三角形的三边长，则称 为“ 型函数”. 则下列函数：()fafb()fc()f ；
5、； ，()fx()singx(0,)()lnhx2,)其中是“ 型函数”的序号为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分 13 分）设函数 1()3sincosin()2fxxx（）求 的最小正周期；（）当 时，求函数 的最大值和最小值0,2x()fx16（本小题满分 13 分）在一次数学统考后，某班随机抽取 10 名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下（）计算样本的平均成绩及方差；（）现从 10 个样本中随机抽出 2 名学生的成绩，设选出学生的分数为 90 分以上的人数为 ，求随机变量 的分布列和均值X17（本小题满
6、分 14 分）如图 1 所示，在边长为 12 的正方形 中，点 在线段 上，且 ，1AD,BCAD3B，作 ，分别交 ， 于点 ， ，作 ，分别交 ，4BCP1A1P11于点 ， ，将该正方形沿 ， 折叠，使得 与 重合，构成如图 2 所1ADQB1C示的三棱柱 1（）求证： 平面 ；A1（）求四棱锥 的体积；BCQP（）求平面 与平面 所成锐二PQABC面角的余弦值9 2 8 88 5 57 4 4 46 0 0ABCA1B1C1PQ图 2ABCDA1B1C1D1PQ图 118（本小题满分 13 分）已知函数 ， 1()lnfxaxR（）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值；y(,)
7、f 20xya（）求函数 的单调区间；()fx（）当 ，且 时，证明： 1a2(1)5fx19（本小题满分 13 分）已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为2:1xyCab(0)12半径的圆与直线 相切6（）求椭圆 的方程；（）设 ， ， 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭(4,0)PABCxPB圆 于另一点 ，证明直线 与 轴相交于定点 ；CEQ（）在（）的条件下，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，求 的取QMNONur值范围20.(本小题满分 14 分)已知数列 满足 ， .nx142134nx()求证： ；3n()求证： ；1x()求数列 的通项公式.n
8、（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市东城区 2009-2010 学年度第二学期综合练习（一）高三数学参考答案 （理科）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1C 2D 3B 4 A 5B 6B 7 C 8D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9 10 2312()11 ， 12 ， (1,2)0,)25(4xy1(,)213 14 ,注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15. （本小题满分 13 分）解： 1()3sincosin()fxxx2ic231
9、sinosx6 分i(2)6（） ，故 的最小正周期为 . 27 分T(fx（）因为 ， 02所以 9 分656x所以当 ，即 时， 有最大值 ，11 分3)(xf0当 ，即 时， 有最小值 13 分2x0x3216. （本小题满分 13 分）解: （）样本的平均成绩 3 分80x方差为 22222221(980)()(9)(850)(8)(740)s6 分7468017（）由题意,随机变量 ， ， .X1， ， .2710()5CPX13720()5CP2310()5CPX随机变量 的分布列为 71515. 13 分302EX17. （本小题满分 14 分）（）证明：在正方形 中，因为 ，1
10、AD5CADBC所以三棱柱 的底面三角形 的边 BC因为 ， ，34所以 ，所以 2 分22AAB因为四边形 为正方形， ，1D1P所以 ，而 ，BCI所以 平面 5 分A1（）解：因为 平面 ，1B所以 为四棱锥 的高BCQP因为四边形 为直角梯形，且 ， ，3A7CQB所以梯形 的面积为 1202BCQPS所以四棱锥 的体积 9 分A3ABCQPVS（）解：由（）、（）可知， ， ， 两两互相垂直以 为原点，建立1B如图所示的空间直角坐标系 ，BxyzABCA1B1C1PQxyz则 ， ， ， ， ， 0,3A,0B4,0C,3P4,70Q所以 ， ，(,)Pur(,7)AQur设平面 的
11、一个法向量为 1,xyzn则 即10,.Arun3047.令 ，则 x1yz所以 12 分1(,)n显然平面 的一个法向量为 BCA2(0,1)n设平面 与平面 所成锐二面角为 PQ则 12123cos,n所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 14 分PABC318. （本小题满分 13 分）解：（）函数 的定义域为 ，()fx|0x2 分21()af又曲线 在点 处的切线与直线 垂直，()yfx,()f 20xy所以 ，1a即 4 分（）由于 2()xf当 时，对于 ，有 在定义域上恒成立， 0a(0,)()0fx即 在 上是增函数()fx,)当 时，由 ，得 (fx1(,)a当 时，
12、， 单调递增；1(0,)xa)0)fx当 时， ， 单调递减8 分1(,)xa()0fx()f（）当 时， 1lnx2，令 ()ln1)25gxx10 分 22(1)()x当 时， ， 在 单调递减2x0gx(,)又 ，所以 在 恒为负()2所以当 时， ,x(x即 1ln()50故当 ，且 时， 成立13 分a2x(1)25fx19（本小题满分 13 分）解：（）由题意知 ， cea所以 2214b即 243a又因为 ，61b所以 ， 24a23故椭圆 的方程为 4 分C21xy（）由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 PBPB()ykx由 得 2(4),1.3ykx222(3)6410kxk6 分设点 ， ，则 1(,)Bxy2(,)E1(,)Axy直线 的方程为 AE212()yx令 ，得 0y21()xy将 ， 代入，1(4)k2(4)kx整理，得 1128x由得 ， 代入21234k2164
