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1、第十二章-概率与统计 考试内容：抽样方法.总体分布的估计总体期望值和方差的估计考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样（2）会用样本频率分布估计总体分布（3）会用样本估计总体期望值和方差12. 概率与统计 知识要点知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行； 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出
2、，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若 是一个随机变量，a，b 是常数.则 ba也是一个随机变量.一般地，若 是随机变量， )(xf是连续函数或单调函数，则 )(f也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量 可能取的值为： L,21i取每一个值 ),21(Lix的概率 iipxP)(，则表称为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.12x ixP pp p有性质 L,01i； 121Li.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： 5,即 可以取 05 之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. 二项分布：如果在一次试验中某事件发
3、生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是： knqpCk)P(其中 pq1,0L 于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 服从二项分布，记作 B（np），其中 n，p 为参数，并记 p)b(;kn.二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“ k”表示
4、在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 k，事 A 不发生记为 q)P(A,k，那么 )AP(k)(k121L.根据相互独立事件的概率乘法分式： )(k121L,3pq于是得到随机变量 的概率分布列.1 2 3 k P q qp pq2 pq1我们称 服从几何分布，并记 )g(k,1，其中 L3,2.1p5. 超几何分布：一批产品共有 N 件，其中有 M（MN）件次品，今抽取 )Nn(1件，则其中的次品数 是一离散型随机变量，分布列为 )kn,0k(Ck)P(nNM.分子是从 M 件次品中取 k 件，从 N-M 件正品中取 n-k 件的取法数，如果规
5、定 m r时 0Cr，则 k 的范围可以写为 k=0，1，n.超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取 n 件（1na+b），则次品数 的分布列为 n.,01kk)P(naL.超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取 n 件时，其中次品数 服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数 的分布列可如下求得：把 b个产品编号，则抽取 n 次共有 n)(个可能结果，等可能： k)(含 knbaC个结果，故,012,ba1)(Cb)(akPnknk L，即 )(banB.我们先为 k 个次品选定位置，共 k种选法；然后每个次品位置有
6、a 种选法，每个正品位置有 b 种选法 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时， k)P()(，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为1x2x ixP pp p则称 LnE21为 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. 随机变量 ba的数学期望： baEE)( 当 0a时， bE)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.当 1时， ，即随机变量 与常数之和的期望等于 的期望与这个常数的和.当 0b时， aE)(，即常数与随机变量乘积的期
7、望等于这个常数与随机变量期望的乘积.单点分布： c1其分布列为： cP)1(. 两点分布： pqE0，其分布列为：（p + q = 1）二项分布： nqknk)!( 其分布列为 ),(pnB.（P 为发生 的概率）几何分布： pE1 其分布列为 ),(p.（P 为发生 的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量 的分布列为 ),21()(Lkpxk时，则称LnpExpxD2212 )()()( 为 的方差. 显然 0D，故 .D为 的根方差或标准差.随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.随机变量 ba的方
8、差 DabD2)().（a、b 均为常数）单点分布： 0 其分布列为 pP1两点分布： pq 其分布列为：（p + q = 1）二项分布： nD几何分布： 2pq 5. 期望与方差的关系.如果 E和 都存在，则 EE)(设 和 是互相独立的两个随机变量，则 D)(,)(期望与方差的转化： 2)(D E（因为 为一常数）0E. 0 1P q p 0 1P q p三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量 ，位于 x 轴上方， 落在任一区间 ),ba内的概率等于它与 x 轴.直线 a与直线 bx所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫 的密度曲线，以其作为
9、图像的函数 )(f叫做 的密度函数，由于“ ),(”是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1.2. 正态分布与正态曲线：如果随机变量 的概率密度为： 2)(1)(xexf. （,Rx为常数，且 0f），称 服从参数为 ,的正态分布，用 ),(2N表示.)(f的表达式可简记为 ),(2N，它的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望与方差：若 ),(2，则 的期望与方差分别为： 2,DE.正态曲线的性质.曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交.曲线关于直线 对称.当 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.当 x 时，曲线上升；当
10、时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向 x 轴无限的靠近.当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中.3. 标准正态分布：如果随机变量 的概率函数为 )(21)(2pxexx，则称 服从标准正态分布. 即 )1,0(N有 )(Px， )(求出，而 P（a b）的计算则是 )(abaPp.注意：当标准正态分布的 (x的 X 取 0 时，有 5.0)(x当 )(x的 X 取大于 0 的数时，有5.0)(fx.比如 5.793.).(p则 .必然小于 0，如图. 正态分布与标准正态分布间
11、的关系：若 ),(2N则 的分布函数通常用 )(xF表示，且有 )x(F)xP(. 4.“3 ”原则. yaby=f(x xya标 准 正 态 分 布 曲 线S阴 =0.5+S假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布 ),(2N.确定一次试验中的取值 a是否落入范围)3,(.做出判断：如果 )3,(a，接受统计假设. 如果a，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“3 ”原则的应用：若随机变量 服从正态分布 ),(2N则 落在 )3,(内的概率为 99.7 亦即落在 )3,(之外的概率为 0.3，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即 不服从正态分布）.
