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1、图3-3圆周运动的实例分析（1）匀速圆周运动与非匀速圆周运动a.圆周运动是变速运动b.最常见的圆周运动有：天体（包括人造天体）在万有引力作用下的运动；核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动；带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动；物体在各种外力（重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等）作用下的圆周运动。c.匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不变。做匀速圆周运动的物体，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圆心。非匀速圆周运动的物体所受的合外力沿着半径指向圆心的分力，提供向心力，产生向心加速度；合外力沿切线方向的分力，产生切向加速度，其效果是改变速度的大小。例 1：如图 3
2、-1 所示，两根轻绳同系一个质量 m=0.1kg 的小球，两绳的另一端分别固定在轴上的 A、B 两处，上面绳 AC 长 L=2m，当两绳都拉直时，与轴的夹角分别为 30和 45，求当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为 =4rad/s 时，上下两轻绳拉力各为多少？【审题】两绳张紧时，小球受的力由 0 逐渐增大时， 可能出现两个临界值。【解析】如图 3-1 所示，当 BC 刚好被拉直，但其拉力 T2 恰为零，设此时角速度为 1，AC 绳上拉力设为T1，对小球有： mgT3cos1 oo30sinLm=30sinTAB21代入数据得：rad/4.21，要使 BC 绳有拉力，应有 1，当 A
3、C 绳恰被拉直，但其拉力 T1 恰为零，设此时角速度为 2，BC 绳拉力为 T2，则有 gT5cos2 T2sin45=m2LACsin30代入数据得：2=3.16rad/s 。要使 AC 绳有拉力，必须2，故 AC 绳已无拉力，AC 绳是松驰状态，BC 绳与杆的夹角 45 ，对小球有：mgcs，T2cos=m 2LBCsin 而 LACsin30=LBCsin45，LBC= 2m 由、可解得NT3.2； 01【总结】当物体做匀速圆周运动时，所受合外力一定指向圆心，在圆周的切线方向上和垂直圆周平面的方向上的合外力必然为零。（2）同轴装置与皮带传动装置在考查皮带转动现象的问题中，要注意以下两点：
4、a、同一转动轴上的各点角速度相等；b、和同一皮带接触的各点线速度大小相等。例 2：如图 3-2 所示为一皮带传动装置，右轮的半径为 r，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮半径为 4r，小轮半径为 2r，b 点在小轮上，到小轮中心距离为 r，c 点和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则Aa 点与 b 点线速度大小相等 Ba 点与 c 点角速度大小相等Ca 点与 d 点向心加速度大小相等 Da、b、c 、d 四点，加速度最小的是 b 点【审题】 分析本题的关键有两点：其一是同一轮轴上的各点角速度相同；其二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度大小相同。这两点抓住
5、了，然后再根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出正确的结论。【解析】由图 3-2 可知，a 点和 c 点是与皮带接触的两个点，所以在传动过程中二者的线速度大小相等，即 vavc，又 vR， 所以arc2r ，即 a2c而 b、 c、d 三点在同一轮轴上，它们的角速度相等，则 bcd 21a，所以选项错又vbbr 21arva，所以选项 A 也错向心加速度：aa a2r ；abb2r（ 2a）2r 41a2r aa；acc22r（ a）22r a2r aa；add24r（图3-1图3-221a）24ra2raa所以选项 C、D 均正确。【总结】 a向心力是根据力的效果命名的在分析做圆周运
6、动的质点受力情况时，切记在物体的作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外不要再添加一个向心力。b对于匀速圆周运动的问题，一般可按如下步骤进行分析：确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。明确运动情况，包括搞清运动速率 v，轨迹半径 R 及轨迹圆心 O 的位置等。分析受力情况，对物体实际受力情况做出正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外力 F（即提供向心力） 。选用公式 F=m Rv2=mR2=mR2T解得结果。c圆周运动中向心力的特点：匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力就是向心力。可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆
7、心，是物体做匀速圆周运动的条件。变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力都会相应变化。求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度，在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢量和）提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。当物体所受的合外力 F 小于所需要提供的向心力 mv2/R 时，物体做离心运动。例 3：如图 3-4 所示，半径为 R 的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体 A，A 与碗壁间的动摩擦因数为 ，当碗绕竖直轴
8、 OO/匀速转动时，物体 A 刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度【审题】物体 A 随碗一起转动而不发生相对滑动，则物体做匀速圆周运动的角速度 就等于碗转动的角速度。物体 A 做匀速圆周运动所需的向心力方向指向球心 O，故此向心力不是由重力而是由碗壁对物体的弹力提供，此时物体所受的摩擦力与重力平衡。【解析】物体 A 做匀速圆周运动，向心力： RmFn2，而摩擦力与重力平衡，则有： mgFn，即： gn由以上两式可得： gRm2，即碗匀速转动的角速度为： g【总结】水平方向的弹力为提供摩擦力的正压力，若在刚好紧贴碗口的基础上，角速度再大，此后摩擦力为静摩擦力，摩
9、擦力大小不变，正压力变大。例 4：如图 3-5 所示，在电机距轴 O 为 r 处固定一质量为 m 的铁块电机启动后，铁块以角速度 绕轴 O匀速转动则电机对地面的最大压力和最小压力之差为_。【审题】铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力 mg 与轮对它的力 F 的合力由圆周运动的规律可知：当 m 转到最低点时 F 最大，当 m 转到最高点时 F 最小。【解析】设铁块在最高点和最低点时，电机对其作用力分别为 F1 和 F2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：在最高点：mgF1m2r ，在最低点：F2mgm2r ，电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块 m 位于最低点和最高点时，且压力差
10、的大小为：FNF2F1 ，由式可解得：FN2m2r【变式】 （1）若 m 在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动? （2）当角速度 为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力?（3）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为 M，则 多大时，电机可以“跳”起来? 此情况下，对地面的最大压力是多少?解：（1）做初速度沿圆周切线方向，只受重力的平抛运动。 （2）电机对铁块无作用力时，重力提供铁块的向心力，则图3-4图 3-5mgm12r ，即 1 rg（ 3）铁块在最高点时，铁块与电动机的相互做用力大小为 F1，则 ，F1 mgm22r ，F1 Mg即当 2 mM)(时，电动机可以跳起来，
11、当 2 mrgM)(时，铁块在最低点时电机对地面压力最大，则F2mgm22rFN F2 Mg，解得电机对地面的最大压力为 FN2（Mm）g（4）圆周运动的周期性：利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的。在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。例 5：如图 3-6 所示，半径为 R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方 h 处沿 OB 方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为 B，则小球的初速度 v_，圆盘
12、转动的角速度_。【审题】小球做的是平抛运动，在小球做平抛运动的这段时间内，圆盘做了一定角度的圆周运动。【解析】小球做平抛运动，在竖直方向上：h 21gt2，则运动时间 t gh2，又因为水平位移为 R所以球的速度，v tRR hg2，在时间 t 内，盘转过的角度 n2，又因为 t，则转盘角速度： tn22n (n1， 2，3)【总结】这两种不同运动规律在解决同一问题时，常常用“时间”这一物理量把两种运动联系起来。例 6：如图 3-7 所示，小球 Q 在竖直平面内做匀速圆周运动，当 Q 球转到图示位置时，有另一小球 P 在距圆周最高点为 h 处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，则 Q 球的
13、角速度 应满足什么条件？【审题】下落的小球 P 做的是自由落体运动，小球 Q 做的是圆周运动，若要想碰，必须满足时间相等这个条件。【解析】设 P 球自由落体到圆周最高点的时间为 t，由自由落体可得 21gt2=h，求得 t= gh2Q 球由图示位置转至最高点的时间也是 t，但做匀速圆周运动，周期为 T，有 t=(4n+1) 4(n=0，1，2，3) ，两式联立再由 T= 2得 (4n+1)2= gh，所以 = 2(4n+1) hg(n=0，1，2，3)（5）竖直平面内圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题：（1）如上图 3-8 所示，没有物体支撑的小球，在绳和轨道的约束下，在竖直平面做圆周运动过
14、最高点的情况：临界条件：绳子或轨道对小球没有力的做用：mgm Rv2v 临界 g。能过最高点的条件：v Rg，当 v 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。图 3-6图 3-7图3-9图3-8不能过最高点的条件：vv 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）（2）如图 3-9 球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： 当 v0 时，FNmg（FN 为支持力） 。当 0v Rg时，FN 随 v 增大而减小，且 mgFN0，FN 为支持力。当 v 时，FN0。当 v 时，FN 为拉力， FN 随 v 的增大而增大。如图所示 3-10 的小球在轨道的最高点时，如果 v Rg此时将脱离轨道做平抛运动
15、，因为轨道对小球不能产生拉力。例 7：半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，如图 3-11 所示。顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度 gRv0，则物体甲将（ ）A沿球面下滑至 M 点B先沿球面下滑至某点 N，然后便离开球面作斜下抛运动C按半径大于 R 的新的圆弧轨道作圆周运动D立即离开半圆球作平抛运动【审题】物体在初始位置受竖直向下的重力，因为 v0= gR，所以，球面支持力为零，又因为物体在竖直方向向下运动，所以运动速率将逐渐增大，若假设物体能够沿球面或某一大于 R 的新的圆弧做圆周运动，则所需的向心力应不断增大。而重力沿半径方向的分力逐渐减少，对以上两种情况又不能提供其他相应的指向圆心的力的作用，故不能提供不断增大的向心力，所以不能维持圆周运动。 【解析】物体应该立即离开半圆球做平抛运动，故选 D。 【总结】当物体到达最高点，速度等于 gR时，半圆对物体的支持力等于零，所以接下来物体的运动不会沿着半圆面，而是做平抛运动。（6）圆周运动的应用a.定量分析火车转弯的最佳情况。受力分析：如图所示 3-12 火车受到的支持力和重力的合力
