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1、班级 学号 姓名 第 1 页 共 8 页长治学院 2009-2010 学年第一学期期中考试 D 卷答案 课程 复变函数 适用专业年级 数学系 2007 级各专业一、 单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设 z=1-i,则 Im(1/z2)=（ C）A-1 B- C D1121=12=2,12=122复数 z= 的幅角主值是（B）i3A0 B C D42433()(1)25iiiz3设 n 为整数，则 Ln（-ie ）=（C）A1- i B i C1+ D1+)
2、(n(2)ni(2)ni题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B C A A B C C A B长治学院 2007 级复变函数期中试题(D)答案第 2 页 共 8 页ln()=ln|+(2+2)=1+(2+2)4设 ，则 A （ 表示主值）123,izi1lnz2lzlnA B= C D不能确定12 12ln,l |l|ln66izizzz5函数 在 z=0 处的导数( A )Im()(fA. 等于 0 B.等于 1 C.等于 D.不存在2I()()lilimI()0zzf6 ,直线 ，则 在( B )2()fzxiy:LxfA. z 平面上解析 B. L 上可微 C.L 上
3、解析 D.z 平面上可微2(),0,1xyxyfiuvC-R 成立 1/27设 z=x+iy.若 f (z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)为解析函数，则（ C）Am=-3,n=-3 Bm=-3,n=1 Cm=1,n=-3 Dm =1,n=1=2,=32+2,=3232,=626,32+2(3232)=3,=18如果 在单位圆 内处处为零，且 ，那么在)(zf1z0f内 ( C )1z班级 学号 姓名 长治学院 2007 级复变函数期中试题(D)答案第 3 页 共 8 页A.0 B.1 C.-1 D.任意常数在单位圆 为常数, ()fz1z1)0(f()1 |fz9积分 （A）2ide
4、A B1+ i C D)1(ii2210设 C 是正向圆周 ，则 =（B ）3zdz3)2(sinA B C D2i2iii3snsn!()2Czd二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11复数-1-i 的指数形式为. 34ie12以方程 的根为顶点的多边形的面积为 ;z1576366|715|82izi2sn3s13不等式 所表示的区域是曲线5z长治学院 2007 级复变函数期中试题(D)答案第 4 页 共 8 页的内部22153xy2=(52)24=94,2=94+4=25414设 ，则方程 的所有根为:zizf)
5、1(50)(zf/428,13kike15复数 的模为i2,Z16设 z=x+iy 满足 x-1+i(y+2)=(1+i)(1-i)，则 z= 3-2i .17. 区域 0arg z 在映射 w=z3 下的像为: 0arg w3 /4 418.（积分估值）沿曲线 ， 连续，则 ML CfCfzd其中 L 为曲线 C 的长度 、 M 满足,zC 时，|f (z)|M。 19. 在单连通区域 内解析，则函数 ，在()fzD0)()zFf内 F(z)解析 ，且 F(z)=f(z). D20设 C 为正向圆周 则,2Czde1222三、计算题（本大题共 3 小题，每小题 10 分,共 30 分）21若
6、复数 满足 ，试求z 03)()(zizi的取值范围2z解： (12)()ii班级 学号 姓名 长治学院 2007 级复变函数期中试题(D)答案第 5 页 共 8 页()2()30ziz2430xy1xy|(1)|i|()()(12|iizii|22|izz55长治学院 2007 级复变函数期中试题(D)答案第 6 页 共 8 页22.已知 ，试确定解析函数 ,使 f(0)=02yxvuivuzf)(解： 2xyuvC-R2xyxuy()()()()(1fziiiiz，2100fC2f23设 C 是正向圆周 ，计算z.)1(2dzeI解:周 则 ,则 :|=2,1:|=1/3,2:|1|=1/
7、3,=+1+2构成复周线, ,于是利用复周线情形的 Cauchy 积分定理得:()()|=2 2(1)=1 2(1)+2 2(1)=1(1)2 +221=2(1)|=0+22|=1=2(2)(1)2|=0+22|=1= 4+2= 2(2)四、证明题（本大题共 3 小题，每小题 10 分,共 30 分）24. 函数 在单位圆 内是否连续？是否一致连续？1fz1z证明之。班级 学号 姓名 长治学院 2007 级复变函数期中试题(D)答案第 7 页 共 8 页证明 （1） 在 内连续且不为 0，故 在 内连z11z续（2） ，则对于0,max,1/n取， ，均有 ， ,但是1,zn21z12|,z1
8、2zn1212ff故 在 内非一致连续fxz25. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f (z)在 D 内为常数的充要条件是 在 D 内解析.f证明 (必要性) ,则 ，()constfuiv0xyui同理， v=const,所以0xyuconstu，故 在 内解析.fzvifz(充分性) 令 , 则 , 因为 与()fziv()iv()fz在 内解析, 所以fD, 且 .xyxuv(),()xyyxxuuv比较等式两边得 . 从而在 内 均为常数,故0yvDf(z)在 内为常数.26.证明,函数 f(z)在区域 D 内解析的充要条件是:(1) f(z)在区域 D 内连续长治学院 2007 级复变函数期中试题(D)答案第 8 页 共 8 页(2) 对于区域 D 内任意周线 C,只要 C 及其内部全含于 D,就有:()d0fz证明：必要性显然，下证充分性作以 z0 为心的圆盘 。在凸区域 K 内，则函数 f(z)连,C0zDK续，并且对于 K 内任何一个周线 C，有 ，对 K 使用 Morera()d0fz定理，f( z)在 K 内解析，自然在 z0 解析。又因为 z0 的任意性，结论成立。
