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1、95 年全国高中数学联赛一试 11995 年全国高中数学联赛第一试一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)1. 设等差数列 满足 3a8=5a13 且 a10,Sn 为其前项之和，则 Sn 中最大的是( )n(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S212. 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1，Z 2，Z 20,则复数Z11995,Z21995, 所对应的不同的点的个数是( )L20195(A)4 (B)5 (C)10 (D)203. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在 100 个小伙子中,如果某人不亚于其他 99 人
2、,就称他为棒小伙子,那么,100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )(A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个4. 已知方程 (nN)在区间(2 n1,2n+1上有两个不相等的实根,则 k 的取值范围是( )xk|2|(A) (B) k0012k(C) (D)以上都不是1212nn5. 的大小关系是 ( )1tanlog,sil,talog,csl cs1co1si1i(A) ossincssin t(B) talcltall 1sin1si1os1cos(C) cgggtag sicoscssin(D) lltanll 1cos1sin1si1cos 6. 设 O 是正三
3、棱锥 PABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与 PA,PB 的延长线分别交于 Q,R,则和式 RS(A)有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值(C)既有最大值又有最小值 ,两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)1. 设 ， 为一对共轭复数,若 ,且 为实数,则|= |2322. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 3. 用x表示不大于实数 x 的最大整数, 方程 的实根个数是 lgl20x95 年全国高中数学联赛一试 24. 直角坐标平面上,满足不等式组 的整点个数是 yx3105. 将一个
4、四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可使用,那么不同的染色方法的总数是 6. 设 M=1,2,3,1995,A 是 M 的子集且满足条件:当 xA 时,15xA,则 A 中元素的个数最多是 1995 年全国高中数学联赛一试(解答)一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)1. 设等差数列 满足 3a8=5a13 且 a10,Sn 为其前项之和，则 Sn 中最大的是( )n(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21解：3(a+7d)=5(a+12d)， d= ，令 an=a (n1)0，a n+1= a n0由图象可得，x=2n+1 时，k
5、1即 k 故选 Bx21n又解：y=(x 2n) 2 与线段 y=k2x(2n10且(2n1) 2(4 n+k2)(2n1)+4 n20，(2 n+1)2(4n+k 2)(2n+1)+4n20，2n 12n+ k22n+1 k 115. 的大小关系是 ( )tanlog,sil,talog,csl cs1co1sin1in(A) 1ossincssi t(B) talcltall sin1si1os1cos(C) cgggtang 1sicoscssi(D) lltanll cos1sin1si1cos 解：45160，0cos1sin11tan1于是 0， 0，故 A、B 均排除tan1si
6、 1tanlcos由图象得 ，D 排除；又由图象得， ，故选 Csilg1cocosl1in tlgcossi6. 设 O 是正三棱锥 PABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与 PA,PB 的延长线分别交于 Q,R,则和式 RS(A)有最大值而无最小值 (B)有最小值而无最大值(C)既有最大值又有最小值 ,两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数解：O 到面 PAB、PBC、PCA 的距离相等设APB=，则VPQRS= d(PQPR+PRPS+PSPQ)sin(其中 d 为 O 与各侧面的距61离) VPQRS= PQPRPSsinsin(其中 为 P
7、S 与面 PQR 的夹角) d(PQ PR+PRPS+PSPQ)=PQPRPSsin 为定值.故选 DdPSRQsin1二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)1. 设 ， 为一对共轭复数 ,若 ,且 为实数,则|= |232OA B CPQ R S95 年全国高中数学联赛一试 4解：设 =x+yi，(x ，y R)，则|=2|y|y= 3设 arg=，则可取 +2=2，(因为只要求|，故不必写出所有可能的角)= ，于是32x=1|=2 2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 解：设球半径为 R，其内接圆锥的底半径为 r，高为 h，作轴截面，则r2=h(2Rh)V 锥 = 33
8、22 4278)(6)24(6)(3 RRh 所求比为 8273. 用x表示不大于实数 x 的最大整数, 方程 的实根个数是 lgl20x解：令 lgx=t，则得 t22=t作图象，知 t=1，t =2，及 1t2 内有一解当 1t2 时，t=1，t= .故得：x = ，x =100，x= ，即共有 3 个实根3034. 直角坐标平面上,满足不等式组 的整点个数是 yx310解：如图，即OAB 内部及边界上的整点由两轴及 x+y=100 围成区域( 包括边界)内的整点数=1+2+3+101=5151 个由 x 轴、y= x，x+ y=100 围成区域 (不包括 y= x 上) 内的整点数313
9、(x=1，2 ，3 时各有 1 个整点， x=4，5，6 时各有 2 个整点， ，x=73，74，75时有 25 个整点，x =76，77，100 时依次有 25，24，1 个整点共有31+32+325+25+24+1=4(1+2+25)=1300由对称性，由 y 轴、y=3x、x+y=100 围成的区域内也有 1300 个整点所求区域内共有 51512600=2551 个整点5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可使用,那么不同的染色方法的总数是 解：顶点染色，有 5 种方法，底面 4 个顶点，用 4 种颜色染， 种方法，用 3 种颜色，选
10、1 对顶点 ，这一对顶点用某种24A12C颜色染 ，余下 2 个顶点，任选 2 色染， 种，共有 =48 种方法；用 2 种颜色染： =12 种1C312C4A24A方法；共有 5(24+48+12)=420 种方法6. 设 M=1,2,3,1995,A 是 M 的子集且满足条件:当 xA 时,15xA,则 A 中元素的个数最多是 解：1995=15133.故取出所有不是 15 的倍数的数，共 1862 个，这此数均符合要求在所有 15 的倍数的数中，15 2 的倍数有 8 个，这此数又可以取出，这样共取出了 1870 个即|A|1870又k，15k(k=9,10,11,，133) 中的两个元素不能同时取出，故|A|1995-133+8=1870 A(75,25)B(25,75)y=13xy=3xyx1002010020Orh95 年全国高中数学联赛一试 4
