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1、- 1 - 图 5FEBDMOP QA C蝴蝶定理的证明 定理：设 M 为圆内弦 PQ 的中点，过 M 作弦 AB 和 CD。设 AD 和 BC 各相交 PQ 于点 E 和 F，则M 是 EF 的中点。在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法 1 如图 2，作 ，则垂足 分别为 的中点，且由于 OUADVBC， UV， ADBC、EUO90F90得 共圆； 共圆。、 、 、 、 、 、则 A=M，又 ， 为 的中点，从而 ，MDCB:V、 、 M: V则 ， 于是 。E=证法 2 过 作关于直线 的对称点 ，如图 3 所示，
2、则 OD FDEM=D、 1联结 交圆 于 ，则 与 关于 对称，即。又PQ11CF=B+PC+Q=BC222、故 四点共圆，即MD、 、 、 MFD而 E 2由 、 知， ， 故 。 1 2 证法 3 如图 4，设直线 与 交于点 。对 及截线 ，ABCNEFAMB及截线 分别应用梅涅劳斯定理，有NEFC，B1AFD1E由上述两式相乘，并注意到N得2FMCEBA2PFQMPF+E-化简上式后得 。 2=2 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法 4 （Steven 给出）如图 5，并令图 2VU FE BD MOP QA C图 3CDFE BDMOP QA C
3、图 4NFE BD MOP QA C- 2 -DAB=CMPQEFaxy、由，即CMAEDFMBFFAESS1sinsinsinFBsin1AE化简得 2 2CBQPEDEayayxx 即 ，从而 。22xya,MFxy证法 5 令 ，以点 为视点，对 和PQCBAP、 MBC分别应用张角定理，有MADsinsinsinsiniFED、上述两式相减，得 1si sisinMCMBAE 设 分别为 的中点，由 ，有GH、CDAB、OPQM2Hcos902OsinG于是 ，而 ，知 ，1sinFE18si0故 。E=（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明 在数学中用函数的方法解决几何问题也是
4、非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。211234y2 2图 6FEBDMOP QA C- 3 -证法 6 （单墫教授给出）如图 6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为。 直线 的方程为 ，直线 的方程为 。22xyaRAB1ykxCD2ykx由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为 22 120令 ，知点 和点 的横坐标满足二次方程 ，0yEF2210kxaR由于 的系数为 ，则两根 和 之和为 ， 即 ，故 。 5x1x202ME=F证法 7 如图 7 建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为22ayr直线 、 的方程可写为 , 。AB
5、CD1ykx2又设 的坐标为 ， 则 分别是二次方,34i 14x、程的一根。 在 轴上的截距为22221,xakrxakrADy。2411244112 xy 同理， 在 轴上的截距为。注意到 是方程BC123kx12、的两根， 是方程2210kxar34、的两根，所以，从而易22 34122xxar得 ，即 。34120xMEF证法 8 如图 8，以 为极点， 为极轴建立极坐标系。因 三点共线，令OCFB、， 则BMxCx、 CFFBBsinsinsin22即 BFCsinco 1 ADEicoss 2作 于 ，作 于 。注意到 OUDOVABC 3 x图 8 UVFE BDMOPQAC21
6、1232图 7FEBD MOPQAC- 4 -由 与 可得 RtOUMtVDCBAcoss 4将 代入 可得 ，即 。 3 4 1 2 EF=M二 蝴蝶定理的推广和猜想（一） 猜想 1在蝴蝶定理中, P、 Q 分别是 ED、 CF 和 AB 的交点. 如果 P、 Q 分别是 CE、 DF 和 AB 延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM . 推论 1过圆的弦 AB 的中点 M 引任意两条弦 CD 与 EF, 连结 CE、 DF 并延长交 AB 的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.证明;设 AM =BM = a, PM = x,QM = y ;PM E = QM F =
7、,PCM = DFM = ;CM E = DM F =,QDM = CEM = ;记 PM E, QM F,PMC, QMD 的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.则由恒等式 S2S3S4S1= 1 知 M PM Esin MQM Fsin FQFM sin ( - )CPCM sin MCsin (+)MD sin (+) DQDM sin EPEM sin ( - )=DQM P2EPMQ2 = 1,即 QFQDM P2= PCPEMQ2. 又由割线定理知 PCPE = PAPB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QFQD = QBQA = ( y -
8、a) ( y + a) = y2- a2.代入 式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.由于 a 0, x, y 0,所以 x = y .即 PM = QM. 3（二）猜想 2在蝴蝶定理中 , 显然 OM 是 AB 的垂线 (O 是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM AB 的前提下将圆 O 的弦 AB 移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .推论 2已知直线 AB 与 O 相离. OM AB, M 为垂足. 过 M 作 O 任意两条割线 MC, M E分别交 O 于 C, D 和 E, F. 连结 DE,FC 并延长分别交 A
9、B 于 P, Q. 求证: PM = QM.证明：过 F 作 FKAB, 交直线 OM 于 N,交 O 于 K .连结 M K 交 O 于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON FK,故有 FN = KN,从而 M F =M K(因为 M在 FK 的垂直平分线上) .又由割线定理知 M EM F = MGM K .因此 M E = MG. 又由 FMN = KMN, OM AB,知EM P = GMQ. 从 CQM = CFK = CGK 知 CGM +CQM= 180 , 从而 G,M, Q, C 四点共圆. 所以 MGQ =MCQ.又由于 M EP = DEF = DCF = MCQ,
10、知M EP = MGQ. 由 、 、 知 PM E QMG.所以 PM = QM.（三）猜想 3既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会- 5 -有 PM = QM .推论 3 设点 A、 B 分别在两条平行线 l 1、 l 2 上,过 AB 的中点 M 任意作两条直线 CD 和 EF 分别交 l 1、 l 2 于 C、 D 和 E、 F, 连结 ED、 CF 交 AB 于 P、 Q. 求证: PM =QM.证明：由于 l 1 l 2 ,M 平分 AB, 从而利用 MACMBD 知 M 平分 CD, 利用 MAEMBF 知 M 平分 EF.在四边形 CEDF 中, 由对角线相互平分知 CEDF 是平行四边形 ,从而 DE CF. 又由于 M 平分 EF,故利用 M EP M FQ 知 PM = QM。 4
