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1、2012 年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷（本试卷共 23 道试题，满分 150 分，考试时间分钟）一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果每个空格填对得分，否则一律得零分1.已知集合 若 则 .1,2,5.AkB1,235,AUk2.函数 的定义域为.yx3.抛物线 的焦点坐标为.284.若复数 满足 为虚数单位 ，则 .z1(ii)z5.函数 的最小正周期为.()sin2)4fx6.方程 的解为.1407.若 则 .来源:523451(2) ,8.若 为奇函数，则实数 .()mfxm9.函数 的 最大值是.224log(,)l
2、y10.若复数 满足 为虚数单位 ，则 在复平面内所对应的图形的面积为.z|iiz11.某校要从 名男生和 名女生中选出 人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、44女都有的概率为(结果用数值表示).12.若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是.210xk(,2)xk13.已知等差数列 的首项及公差均为正数，令 当 是数na *201(,201).nnbaNkb列 的最大项时， .nb14.若矩阵 满足： 且 ，则这样的互不相等的矩阵共12a 1212,a120a 有个.二选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生
3、必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5 分，否则一律得零分. 15.已知椭圆 则 答 （）221:,:1,468xyxyC(A) 与 顶点相同.（B） 与 长轴长相同.2 C2(C) 与 短轴长相同.（D） 与 焦距相等.1 116.记函数 的反函数为 如果函数 的图像过点 ，那么函数()yfx1().yfx()yfx(1,0)的图像过点 答 （）1(A) . (B) . (C) . (D) .(0,)(0,2)(,)(2,0)17.已知空间三条直线 若 与 异面，且 与 异面，则 答 （）lmn、 、 lln(A) 与 异面. （B） 与 相交.nm(C) 与 平行.(D) 与
4、异面、相交、平行均有可能.18.设 为 所在平面上一点.若实数 满足OACxyz、 、 0xOAyBzCurur，则“ ”是“点 在 的边所在直线上”的答 （）22(0)xyz0xyzC(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件.(C)充分必要条件. (D)既不充分又不必要条件.三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19. (本题满分 12 分) 本题共有两个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分.如图，正四棱柱 的底面边长为 ，高为 ，1ABCD为线段 的中点.求：M（1）三 棱锥 的体积；1（2）异面直线 与 所成角的大小（
5、结果用反三角函数值1表示）20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分 .某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为 千米（忽略内、外环线长度差异）.30来源:（1）当 列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为 分钟，求内环线列车的最小9 1平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为 千米/小时，外环线列车平均速度为 千米/小时.现2530内、外环线共有 列列车全部 投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 分钟，问：18 1内 、外环线应名投入几列列车运行？来源:ABCD11M21. (
6、本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题 ，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.已知双曲线 21:.4yCx（1）求与双曲线 有相同的焦点，且过点 的双曲线 的标准方程；(4,3)P2C（2）直线 分别交双曲线 的两条渐近线 于 两点.当 时，求实数 的值。:lym1CAB、 3Ourgm22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满 分 6 分.已知数列 满足nnabc、 、 *()()().nnnabcN（1）设 是公差为 的等差数列.当 时，求 的值；36,c123b、（2）设 求正整数 使得一切
7、 均有28.n,k*,;nk（3）设 当 时，求数列 的通项公式.1(),.nnca1b来源:学科网23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分.定义向量 的“相伴函数”为 函数(,OMabur ()sincos;fxabx的“相伴向量”为 （其中 为坐标原点）.记平面内所有向量的()sincosfxax,OMurO“相伴函数”构成的集合为 .S（1）设 求证：()3si()4sin,2g();gxS（2）已知 且 求其“相伴向量”的模；cocohx,h（3）已知 为圆 上一点，向量 的“相伴函数”(,)0Ma
8、b2:()1CyOur()fx在 处取得最大值.当点 在圆 上运动时，求 的取值范围。0 0tan2x来源:参 考答案一、选择题来源:1 32 ,)3 (04 1i5 6 x7 8 29 10 11 14512 (,2二、填空题13 10614 815D16B三、解 答题17D18C19解（1） ，又 为三棱锥 的高，124ABCS1C1MBC1136CMBAV（2） ，所以 或其补角为导面直线 与 所/DQ1MBD1成的角。连接 平 面 ，在 中，1,BA11,CA1RtMBC45,2CB，故 ，即异面直1tanM1arctn25线 与 所成的角为CD1Marctn2520解：（1）设内环线
9、列车运行的平均速度为 千米/ 小时，由题意可知，v3061209vv所以，要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟，列车的最小平均速度是 20 千米/小时。（2）设内环线投入 列列车运行，则外环线投入 列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分x(18)x别为 分钟，则12,t1230730606,25()ttx于是有 12 2159715731480|8 22460t xx又 ，所以 ，所以当内环线投入 10 列，外环线投入 8 列列车运行，内、外环线乘客最长候*NQ10车时间之差不超过 1 分钟。21解（1）双曲线 的焦点坐标为 ，设双曲线 的标准方程为 ，C(5,0),)2C21(0,)x
10、yab则 ，所以双曲线 的标准方程为 。22254631aba2C214xy（2）双曲线 的渐近线方程为 ，设 来源:1Cyx12(,)(,)AB由 ，由2220430yxxm 260m又因为 ，而213x12212()3OABxxur所以 。2m22解：（1） ，11,2nnabQ123,4,8bbQ（2）由 ，311277nn 由 ，即 ；由 ，即104nb56bL104nbn1234b。4k（3）由 ，故 ，111()()2)nnn na1*1()(,)nn nN来源:12 12 123212 1,(1),(),()2)n nn nbbbb L当 时，以上各式相加得*()nkN来源:12
11、211 2()()2nnnb nL Z+X+X+K 513232nnn当 时，*()kN111 2132()326n nn nnb，,3625,n()kn*()N23证明：（1） ()3si()4sini3cos2gxxx其“相伴向量” ，4,OMurgS（2） ()cos)cs(ocsi)2csins(co2)shxxxxxx函数 的“相伴向量” ，则in,r22|sin(cs)54csOur（3） 的“相伴向量” ，其中M2(iosin()fxabxabx22cos,sinab当 时， 取得最在值，故当,xkZ()fx02,xkZ0tant(2cotab，来源:0022tat1()xa为直线 的斜率，由几何意义知 ，令 ，则baOM3,0)(.bbma023tan,0)(.1xm当 时，函数 单调递减， ；302tan1xm0tan23x当 时，函数 单调递减， .03m0ta2x 0tax综上所述， .0tan,3xU
