《设正数p,q满足p^3+q^3=2,求证：p+q≤2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《设正数p,q满足p^3+q^3=2,求证：p+q≤2（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 设 p0，q0 ，且 p3+q3=2，求证：p+q2.考查 不等式的证明 基本不等式 导数在函数中的应用 解答1 利用一元二次方程有实根的判别式法方法一：设 p+q=k，则有 q=k-p，两边立方，得q3=(k-p)3=k3-3k2p+3kp2-p3，即 p3+q3=k3-3k2p+3kp2，又因为 p3+q3=2，所以得到 3kp2-3k2p+k3-2=0 因为 p0，q0，所以 k0，从而关于 p 的方程（）有实根，故=(3k 2)2-12k(k3-2) 0，解得 k 2，即 p+q 2.方法二：利用 p3+q3=(p+q)3-3pq(p+q)=2,pq= ；3设 p+q=k，从而 pq
2、= ，k23故 p、q 是关于 x 的方程 x2-kx+ =0 的两个实根，3从而=k 2-4 0，即 ， ，k308k042k)(解得 （说明：亦可以由 k0，得到 k3-8 0） ，所以 p+q 2.02 利用简易逻辑中的反证法方法三：假设 p+q2，则 p2-q，两边立方得 p38-12q+6q2-q3，而 p3+q3=2，6q 2-12q+62，则 p2-q，两边立方得 p38-12q+6q2-q3，即得 p3+ q38-12q+6q2=6(q-1)2+2 2，从而 p3+ q32，这与已知条件“p 3+q3=2”矛盾，故 p+q 2.3 利用基本不等式或均值不等式方法五：pq= ，又
3、 p+q0，qp3242所以得到 4(p+q)3-8 3(p+q)3，即 (p+q)3 8，从而 p+q 2.方法六：因为 p0，q0 ，所以 p+q ，两边平方得 pq ；242qp又因为(p+q) 3=p3+q3+3pq(p+q)=2+3pq(p+q) 2+3 ，2解得 p+q 2.方法七：因为 p0，q0 ，所以 ，qp311313,两式相加，因为 p3+q3=2，得 .243q4 用导数在函数中的应用来求解方法八：设 x=p，则根据条件有 q3=2-x3，从而 q= ，3x设函数 ，其中 (0, )，f232求导， ；33211)(xxx令 ，得 ，0f列表得x (0,1) 1 (1,
4、 )32f+ 0 -f(x) 极大值（最大值） 从而 ，即 p+q 2.21f （说明：事实上，通过上面的分析，得到 .23qp方法九：由于 p3+q3=2，所以 1-p3=q3-1，故 p3,1,q3 成等差数列，设公差为 d，则有 p3=1-d，q 3=1+d，其中 d(-1,1)，p+q= ；31d记 xg.,11x，)(3232可见函数 在区间(-1,0) 上是增函数，在区间(0,1)上是减函数，xg从而 ，即 p+q 2.20方法十：根据条件有 ，33又 ，设qp, ,sin,cos23即 ，其中3232ins).,(0然后求导（略）.5 利用向量来求解方法十一：设 m=( , )，n=( , )，则有 mn |m|n|，pqpq即 p2+q2 ，即 p2+q2 ，3 qp而 ，所以 ，解得 p+q 2.26 利用函数的凸性来解方法十二：考察函数 在区间 上是下凸函数，3xf,0从而对于区间 内的任意两个实数 p、q，,0都有 ，即 ，22pfqpf 332因为 p3+q3=2，所以 ，p+ q 2.13
