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1、1函数值域的若干求法一.函数值域的几点解读在函数 中，与自变量 的值对应的 的值叫做函数值，函数值的集合即()yfxxy为函数的值域。实质上1.当函数 用表格给出时，其值域指表格中实数 的集合。()f y2.当函数 的图象给出时，其值域即为图象在 轴上的投影所覆盖的实数yx的集合。y3.当函数 用解析式给出时，其值域由函数的定义域及其对应法则唯一确()f定。4.当函数由实际问题给出时，其值域由问题的实际意义确定。二.求函数值域的几种方法（一）观察法：对于一些简单的函数，可以通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域。例 1：求下列函数的值域 ).(5,4321x 2y.解： )1( 且
2、 xyQ,1,9753y所以函数的值域是： ).2( 0x1x所以函数 的值域是y,（二）配方法：对于二次三项式有关问题，常根据求解问题的要求，采用配方法来解决。对于含有二次三项式的函数，也常用配方法来求其值域。例 2：求下列函数的值域).1( 642xy25.解： )( 配方得： 2y)(2xy所以函数的值域是： ,2).2( 9)2(452xxyQ显然 的最大值是 9函数 2xy 的最大值是 3 且 0y所以函数的值域是： 3,0（三） 图象法就是利用函数图象的直观性求函数值域的方法例 3：求函数 的值域12yx解：将函数 化为分段函数： 2()31xf()2x函数图象如图示：显然 3y所
3、以函数 的值域是：2yx,（四） 换元法：对于一些无理函数或超越函数，通过换元把它们化为有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出。例 4：求下列函数的值域（1） 212xy（2） 解：令 则 3)1(22t )0(tty1由二次函数最大值是 知 t当 时 03t3t当 时1所以函数 的值域是：22xy ),0(31,U（2）设 则 且 1xt0t12t于是 2)(tty3所以函数 的值域是：12xy,21（五） 反函数法若一个函数是到值域上的一一映射，且反函数易求，则可利用反函数的定义域求原函数的值域例 5：求下列函数的值域（1） 213xy(03)x且（2） 2x
4、解：（1） 易求原函数的反函数为： 132xy由于原函数的定义域为 0x且可得不等式组 132x所以 或 13x所以函数 的值域是：2xy(03)x且 1,2,3U（2）易知原函数的定义域为 R，由函数解析式解出 有： 当 时有22(1)()yyy故当且仅当 时 有实数解21yx20xQ0x1yy所以函数 的值域是：2x,（六） 判别式法：即利用一元二次方程根的判别式求。若一个有理函数式可化为关于 的一元x二次方程，则可利用 来求函数值域。240bac例 6：求下列函数的值域（1） 231xy4（2） 1xy解：（1） ， 由 可知 R 分母 恒不为 0，231xx21x则原式可化为 22()
5、31y整理成关于 的方程得： x()0xy2(3)4()4(3)10yyy 解得： （若 方程显然不成立）13Qy所以函数 的值域是：2xy1,（2） ， 将函数两边平方得： 22()xy于是: 222(1)0yxx由于 是实数，故 或 22(1)4(1)0yy得： 因为函数的定义域为 ，显然 24y,所以函数 的值域是：1x20,4（七）不等式法利用基本不等式 求函数的值域，要注意条件32,ababca“一正、二定、三相等”例 7：求函数 的值域2xy解： ，xQ当 时 ， 当 时0x220y0xy所以函数 的值域是：2xy,（八）函数单调性法5利用函数在定义域中的单调性求其值域例 8：求函
6、数 的值域254xy解： 令 ，故不能使用不等22214xx24tx式，但 在 时为增函数1ytt52所以函数 的值域是：2xy5,2（九）分离系数法对于一次分式函数，用分离系数法，则较为简单例 9：求 1xy的值域解： 且 Q01x所以函数 的值域是： yxy（十）三角函数法即利用三角函数的有界性求函数值域例 10：（十一）导数法求函数 的值域5432,1,yxx解： 令 得 ，由于 ，故比较43201Q0y23,1x1,2可知 的最大值是 3，最小值是 ， 值域为(0),1,()ff()fx993（ 十一）几何意义法把一些代数式赋予一定的几何意义，如直线的斜率，线段的长度等。可以将代数中的求最值问题转化为几何中的问题解决，实现数形转化
