高中数学竞赛讲义

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1、第 0 页数学竞赛讲义目录第一章 集合2第二章 函数152.1 函数及其性质152.2 二次函数 212.3 函数迭代 282.4 抽象函数 32第三章 数列373.1 等差数列与等比数列373.2 递归数列通项公式的求法 443.3 递推法解题48第四章 三角 平面向量 复数51第五章 直线、圆、圆锥曲线60第六章 空间向量 简单几何体68第七章 二项式定理与多项式75第八章 联赛二试选讲 828.1 平几名定理、名题与竞赛题 828.2 数学归纳法 998.3 排序不等式 103第一章 集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在

2、：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.1.1 集合的概念与运算【基础知识】一集合的有关概念1集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合第 1 页的元素.2集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3集合的分类：无限集、有限集、空集 .4. 集合间的关系：二集合的运算1交集、并集、补集和差集差集：记 A、B 是两个集合，则所有属

3、于 A 且不属于 B 的元素构成的集合记作 .BA即 且 .x2.集合的运算性质(1) , (幂等律 );UI(2) , (交换律);BI(3) , (结合律);)(CABU)CBAII(4) , (分配律);(II )(IU(5) , (吸收律);)(B)(6) (对合律);ACU(7) , (摩根律)(CBUI )(BCAUI(8) , .(I BI3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出 (互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相

4、等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例 1】在集合 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之,2nL和是 .分析已知 的所有的子集共有 n2个.而对于 ,显然, ,21niL中包含 的子集与集合 的子集个数相等.这就说明 在集,21nLi ,1,iLi合 的所有子集中一共出现 次,即对所有的 求和,可得, 2ni ).(21ninS【解】集合 的所有子集的元素之和为,21nL )2(1 nL第 2 页= .2)1(n说明本题的关键在于得出 中包含 的子集与集合 的,21nLi ,1,21niL子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中

5、应用非常广泛.【例 2】已知集合 且 ,求参数034|,03| 222 axBxA BA的取值范围.a分析首先确定集合 A、B,再利用 的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得 0)3(|,12| axx当 时, ,由 知无解;0a3|axBB当 时, ,显然无解; 当 时, ,由 解得|xA.321a综上知,参数 的取值范围是 .a321说明本题中,集合的定义是一个二次三项式 ,那么寻于集合 B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围 .【例 3】已知 ,集合 .若Ryx, 1,2,1,2 yxxA,则 的值是( )BA2A.5 B.4 C.25 D.10【解】 , ,且

6、 及集合中元素的互异性知0)1(2xQxx12 012Q,即 ,此时应有2 .x而 ,从而在集合 B 中,Ry .2yy由 ,得A)3(12yx由(2)(3)解得 ,代入(1) 式知 也满足(1) 式.2,1,1yx.522yx第 3 页说明本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等, 那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例 4】已知集合 .若 ,|,0),lg(,yxBxyABA求 + 的值.)1()(2yx)1208分析从集合 A=B 的关系入手, 则易于解决.【解】 , ,根据元素的互异性,由 B 知 .B

7、AQ0)lg(|xyx 0,yx且 , ,故只有 ,从而00.1xy又由 及 ,得1.1所以 或 ,其中 与元素的互异性矛盾!|xy1yx所以 代入得:,1+ =( )+2+( )+2+( )+2=0.)()(2yx)1(208yx22说明本题是例 4 的拓展,也是考查集合相等的概念, 所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等 ,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例 5】已知 A 为有限集,且 ,满足集合 A 中的所有元素之和与所有元素之积相等 ,*N写出所有这样的集合 A. 【解】设集合 A= 且 ,由)1(,21naLnaL21 na

8、L21,naL21,得 ,即*)(Nnnn21 n21)!()!1(或 (事实上,当 时,有 .3 2)()!( n第 4 页当 时, ,而2n 1,2,12121 aaa .2,22na当 时, ,3 3323 1由 ,解得 .综上可知, .21A说明本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合 A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例 6】已知集合 ,若 ,求实数02|,023|2 axSxP PS的取值组成的集合 A.a【解】 ,设 .1|xaf)(2当 ,即 时, ,满足 ;04)2(a1SP当 ,即 或 时,若 ,则 ,不满足

9、,故舍去;0aSP若 时,则 ,满足 .1S当 时,满足 等价于方程 的根介于 1 和 2 之间.04)2(a 02ax即 .034120)2(1af或 综合得 ,即所求集合 A .1|a说明先讨论特殊情形(S= ),再讨论一般情形. 解决本题的关键在于对 分类讨论,确定的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论a .0【例 7】(2005 年江苏预赛)已知平面上两个点集 R, 2(,)|1|(),MxyxyR. 若 , 则 的取值范围是(,|1|,NxyayxyNIa第 5 页【解】由题意知 是以原点为焦点、直线 M10xy为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集， 是以 为N(,)a中心的正方形

10、及其内部的点集(如图) 考察 时, 的取值范围:NIa令 , 代入方程 ,1y2|1|()xyxy得 ，解出得 所以，240x6当 时, 6aMNI令 ，代入方程 , 得 . 解出得2y 2|1|()xyxy2610x所以，当 时, 310x30aI因此, 综合 与 可知，当 ，即 时, 630a,31a故填 .MNI16,30【例 8】已知集合 , ,其中 ,42aA,24321aB4321a.若 , .且 中的所有元素之和为 124,求a4321, 1I 04BAU集合 A、B.【解】 ,且 , ,又 ,所以Q4321a41aI21Na.1又 ,可得 ,并且 或04a92.23若 ,即 ,

11、则有 解得 或 (舍)922 ,835363此时有 .1,25531BA若 ,即 ,此时应有 ,则 中的所有元素之和为 100 124.不合题意.23aaBAU综上可得, .89说明本题的难点在于依据已知条件推断集合 A、B 中元素的特征 .同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一, 将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了 .-2 -1 4 6-3 5 7-1yx1231 2 3O第 6 页【例 9】满足条件 的函数 形成了一个集合 M,其中|4)(| 2121xxg)(xg,并且 ,求函数 与集合 M 的关系.Rx21,2x3

12、)(Rfy分析求函数 集合 M 的关系,即求该函数是否属于集合 M,也就是判3)(xf断该函数是否满足集合 M 的属性 .【解】 |3|)23()2(|)(| 2121121 xxxxfxfQ取 时, 65,421 .|4|9| 11f由此可见, .)(xf说明本题中 M 是一个关于函数的集合 .判断一个函数 是否属于 M,只要找至一个或)(xf几个特殊的 使得 不符合 M 中的条件即可证明ix)(if .M【例 10】对集合 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数208,1L按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如 的“交替和”是9,6421,集合 的“交替和”

13、是 107=3,集合 的“交替和”是 5 等等.6469,75试求 A 的所有的“交替和” 的总和.并针对于集合 求出所有的“交替和”.,nL分析集合 A 的非空子集共有 个, 显然,要想逐个计算“交替和” 然后相加是不可能1208的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如1,2,3,4的非空子集共有 15个,共“交替和” 分别为 :1 1;2 2 ;3 3;4 4;1,2 2-1; 1,3 3-1;1,4 4-1;2,3 3-2;2,4 4-2;3,4 4-3;1,2,3 3-2+1;1,2,4 4-2+1;1,3,4 4-3=1;2,3,4 4-3+2;1,2,3,4 4-3+2-1.从以上写出的 “交替和”可以发现,除4以外,可以把1,2,3,4的子集分为两类: 一类中包含 4,另一类不包含 4,并且构成这样的对应: 设是1,2,3,4中一个不含有的子集,令 与 相对应 ,显然这两个集合的“ 交替和”的和iAiAiU4为 4,由于这样的对应应有 7 对,再加上4的“交替和”为 4,即1,2,3.4的所有子集的“交替和”为 32.第 7 页【解】集合 的子集中,除了集合 ,还有 个非空子集.将其分为208,1L208208两类:第一类是含 200